3. (2014•江西撫州，第24題，10分)

　　【試題背景】已知：∥ ∥ ∥，平行線與 、 與 、 與之間的距離分別為 1、 2、 3，且 1 = 3 = 1， 2 = 2 . 我們把四個(gè)頂點(diǎn)分別在、 、 、這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”.

　　【探究1】 ⑴ 如圖1，正方形 為“格線四邊形”， 于點(diǎn) , 的反向延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn) . 求正方形 的邊長(zhǎng).

　　【探究2】 ⑵ 矩形 為“格線四邊形”，其長(zhǎng) ：寬 = 2 ：1 ，則矩形 的寬為 . (直接寫出結(jié)果即可)

　　【探究3】 ⑶ 如圖2，菱形 為“格線四邊形”且∠ =60°，△ 是等邊三角形， 于點(diǎn) ， ∠ =90°，直線 分別交直線、于點(diǎn) 、 . 求證： .

　　【拓 展】 ⑷ 如圖3，∥，等邊三角形 的頂點(diǎn) 、 分別落在直線、上， 于點(diǎn) ，且 =4 ，∠ =90°，直線 分別交直線、于點(diǎn) 、 ，點(diǎn) 、 分別是線段 、 上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持 = ， 于點(diǎn) .

　　猜想： 在什么范圍內(nèi)， ∥ ?并說(shuō)明此時(shí) ∥ 的理由.

　　解析：(1) 如圖1，

　　∵BE⊥l , l ∥k ,

　　∴∠AEB=∠BFC=90°,

　　又四邊形ABCD是正方形，

　　∴∠1+∠2=90°，AB=BC, ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,

　　∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),

　　∴AE=BF=1 , ∵BE=d1+d2=3 , ∴AB= ,

　　∴正方形的邊長(zhǎng)是 .

　　(2)如圖2,3，

　　⊿ABE∽⊿BCF,

　　∴ 或

　　∵BF=d3=1 ,

　　∴AE= 或

　　∴AB= 或

　　AB=

　　∴矩形ABCD的寬為 或 .

　　(注意：要分2種情況討論)

　　(3)如圖4，

　　連接AC，

　　∵四邊形ABCD是菱形，

　　∴AD=DC,

　　又∠ADC=60°,

　　∴⊿ADC是等邊三角形，

　　∴AD=AC，

　　∵AE⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，

　　∵⊿AEF是等邊三角形， ∴ AF=AE,

　　∴⊿AFD≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.

　　(4)如圖5，

　　當(dāng)2

　　理由如下：

　　連接AM,

　　∵AB⊥k , ∠ACD=90°,

　　∴∠ABE=∠ACD=90°,

　　∵⊿ABC是等邊三角形，

　　∴AB=AC ,

　　已知AE=AD, ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD;

　　在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，

　　，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),

　　∴ BM=CM ;

　　∴ME=MD,

　　∴ , ∴ED∥BC.

　　4. (2014•浙江杭州，第23題，12分)復(fù)習(xí)課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx2﹣(4kx+1)x﹣k+1(k是實(shí)數(shù)).

　　教師：請(qǐng)獨(dú)立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(性質(zhì))寫到黑板上.

　　學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論.教師作為活動(dòng)一員，又補(bǔ)充一些結(jié)論，并從中選出以下四條：

　�、俅嬖诤瘮�(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)(1，0)點(diǎn);

　　②函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn);

　�、郛�(dāng)x>1時(shí)，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小;

　�、苋艉瘮�(shù)有最大值，則最大值比為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值比為負(fù)數(shù).

　　教師：請(qǐng)你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由.最后簡(jiǎn)單寫出解決問(wèn)題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法.

　　考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題

　　分析： ①將(1，0)點(diǎn)代入函數(shù)，解出k的值即可作出判斷;

　�、谑紫瓤紤]，函數(shù)為一次函數(shù)的情況，從而可判斷為假;

　　③根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可作出判斷;

　　④當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，無(wú)最大之和最小值，當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為拋物線，求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，即可作出判斷.

　　解答： 解：①真，將(1，0)代入可得：2k﹣(4k+1)﹣k+1=0，

　　解得：k=0.

　　運(yùn)用方程思想;

　　②假，反例：k=0時(shí)，只有兩個(gè)交點(diǎn).運(yùn)用舉反例的方法;

　�、奂�，如k=1，﹣ =，當(dāng)x>1時(shí)，先減后增;運(yùn)用舉反例的方法;

　　④真，當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)無(wú)最大、最小值;

　　k≠0時(shí)，y最= =﹣ ，

　　∴當(dāng)k>0時(shí)，有最小值，最小值為負(fù);

　　當(dāng)k<0時(shí)，有最大值，最大值為正.運(yùn)用分類討論思想.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的綜合，立意新穎，結(jié)合考察了數(shù)學(xué)解題過(guò)程中經(jīng)常用到的幾種解題方法，同學(xué)們注意思考、理解，難度一般.