[A級　基礎(chǔ)達標(biāo)練]

　　一、填空題

　　1.(2014·南通質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an>0，a-a=1(nN*)，那么使an<5成立的n的最大值________.

　　[解析]　由a-a=1(nN*)知，數(shù)列{a}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則a=1+(n-1)×1=n.

　　由an<5得<5，n<25，則n的最大值為24.

　　[答案]　24

　　2.數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}中連續(xù)的三項，則數(shù)列{bn}的公比q=________.

　　[解析]　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由a=a1a7得(a1+2d)2=a1(a1+6d)，解得a1=2d.

　　故數(shù)列{bn}的公比q====2.

　　[答案]　2

　　3.(2014·泰州模擬)設(shè)數(shù)列{an}是首項大于零的等比數(shù)列，則“a10，當(dāng)a11.{an}為遞增數(shù)列;若{an}為遞增數(shù)列，則q>1，a10)，

　　若交換a，b，則b，b-d，b+d成等比數(shù)列，得(b-d)2=b(b+d)，解得d=3b，a=-2b，c=4b.

　　==10.

　　若交換a，c，則d=0(舍去).

　　若交換b，c也可得=10，綜上，=10.

　　[答案]　10

　　7.從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，則至少應(yīng)倒________次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%.

　　[解析]　設(shè)倒n次后純酒精與總?cè)芤旱捏w積比為an，

　　則an=n，由題意知n<10%，n≥4.

　　[答案]　4

　　8.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為d，若<-1，且它的前n項和Sn有最大值，則使得Sn<0的n的最小值為________.

　　[解析]　根據(jù)Sn有最大值知，d<0，則a10>a11，

　　由<-1知，a10>0>a11，

　　且a11<-a10即a10+a11<0，從而S19==19a10>0，

　　S20==10(a10+a11)<0，

　　則使Sn<0的n的最小值為20.

　　[答案]　20

　　二、解答題

　　9.(2013·天津高考)已知首項為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn(nN*)，且-2S2，S3,4S4成等差數(shù)列.

　　(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(2)證明：Sn+≤(nN*).

　　[解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.

　　因為-2S2，S3,4S4成等差數(shù)列，

　　所以S3+2S2=4S4-S3，

　　即S4-S3=S2-S4，可得2a4=-a3，

　　于是q==-.

　　又因為a1=，所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an=·n-1=(-1)n-1·.

　　(2)證明：Sn=1-n，Sn+=1-n+=

　　當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn+隨n的增大而減小.

　　所以Sn+≤S1+=.

　　當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn+隨n的增大而減小，

　　所以Sn+≤S2+=.

　　故對于nN*，有Sn+≤.

　　10.某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少.從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元;從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%.

　　(1)求第n年初M的價值an的表達式;

　　(2)設(shè)An=，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則需在第n年初對M更新.證明：需在第9年初對M更新.

　　[解]　(1)當(dāng)n≤6時，數(shù)列{an}是首項為120，公差為-10的等差數(shù)列，an=120-10(n-1)=130-10n.

　　當(dāng)n≥7時，數(shù)列{an}是以a6為首項，公比為的等比數(shù)列，又a6=70，所以an=70×n-6.

　　因此，第n年初，M的價值an的表達式為

　　an=

　　(2)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1≤n≤6時，Sn=120n-5n(n-1)，An=120-5(n-1)=125-5n;

　　當(dāng)n≥7時，由于S6=570，

　　故Sn=S6+(a7+a8+…+an)

　　=570+70××4×

　　=780-210×n-6.

　　An=.

　　因為{an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列，

　　又A8==82>80，

　　A9==76<80，

　　所以需在第9年初對M更新.