[B級　能力提升練]

　　一、填空題

　　1.(2014·鹽城模擬)已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，其中a1=2，b1=1，a2=b2,2a4=b3，且存在常數(shù)α，β，使得an=logαbn+β對每一個正整數(shù)n恒成立，則αβ=________.

　　[解析]　由題意，可設an=2+(n-1)d，bn=qn-1，于是由得

　　d≠0，∴an=2n，bn=22n-2，

　　代入an=logαbn+β，即2n=(2n-2)logα2+β，

　　即2n(1-logα2)=β-2logα2，

　　解得故αβ=22=4.

　　[答案]　4

　　2.(2013·江蘇高考)在正項等比數(shù)列{an}中，a5=，a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________.

　　[解析]　設{an}的公比為q(q>0)，

　　則由已知得

　　解得

　　于是a1+a2+…+an==(2n-1)，

　　a1a2…an=aq=n2.

　　由a1+a2+…+an>a1a2…an

　　得(2n-1)>n2，則2n-1>2n2-n+5 .

　　由2n>2n2-n+5，得n>n2-n+5，

　　n2-13n+10<0，

　　解得

　　驗證當n=12時，滿足a1+a2+…+an>a1a2…an.n≥13時，不滿足a1+a2+…+an>a1a2…an.故n的最大值為12.

　　[答案]　12

　　二、解答題

　　3.(2012·江蘇高考)已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=，nN*.

　　(1)設bn+1=1+，nN*，求證：數(shù)列是等差數(shù)列;

　　(2)設bn+1=·，nN*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值.

　　[解]　(1)證明：由題設知an+1===，

　　所以=，從而2-2=1(nN*)，

　　所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.

　　(2)因為an>0，bn>0，所以≤a+b<(an+bn)2，

　　從而10知q>0.下證q=1.

　　若q>1，則a1=logq時，an+1=a1qn>，與(*)矛盾;

　　若0a2>1，故當n>logq時，an+1=a1qn<1，與(*)矛盾.

　　綜上，q=1，故an=a1(nN*)，所以11，于是b10，

　　當n=1時，2a1=a1+，a1=，

　　當n≥2時，Sn=2an-，Sn-1=2an-1-，

　　兩式相減得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，則=2，

　　數(shù)列{an}是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，

　　an=a1·2n-1=×2n-1=2n-2.

　　(2)a=2-bn=22n-4，bn=4-2n，cn===，

　　Tn=+++…++，

　　Tn=++…++，

　�、�-得Tn=4-8-

　　=4-8·-=4-4-=，

　　Tn=.

　　【反思啟迪】　1.求數(shù)列的通項公式時，若數(shù)列的類型不知，應先根據(jù)條件判斷數(shù)列的類型，或構造等差、等比數(shù)列.

　　2.用錯位相減法求和時，一定要把錯位相減后的式子寫正確，以保證結果的正確性.

　　【變式訓練2】　已知等比數(shù)列{an}的首項為1，公比q≠1，Sn為其前n項和，a1，a2，a3分別為某等差數(shù)列的第一、第二、第四項.

　　(1)求an和Sn;

　　(2)設bn=log2an+1，數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn<.

　　[解]　(1)a1，a2，a3是等差數(shù)列的第一、第二、第四項，

　　a3-a2=2(a2-a1)，

　　a1q2-a1q=2(a1q-a1)，

　　a1=1，q2-3q+2=0，

　　q≠1，q=2，

　　an=a1qn-1=2n-1，

　　Sn===2n-1.

　　(2)由(1)知an+1=2n，bn=log2an+1=log22n=n.

　　==.

　　Tn=++++…+++

　　=

　　=-<.類型3　數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應用

　　數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是近年高考的熱點，常涉及數(shù)列的通項與前n項和問題，對于這種問題，在解答時需要利用化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為我們較熟悉的問題來解決，要掌握常見的解決不等式的方法，以便更好地解決問題.主要考查學生的推理論證能力和分析、解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化化歸的思想和數(shù)學素養(yǎng).