【典例1】　(1)(2014·南京模擬)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.

　　(2)(2014·鎮(zhèn)江質(zhì)檢)已知F1、F2為雙曲線C：x2-y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|=2|PF2|，則cosF1PF2=________.

　　(3)已知F是雙曲線-=1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則|PF|+|PA|的最小值為________.

　　[解析]　(1)由題意知曲線C2是以橢圓C1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線，且2a=8，即a=4，

　　由橢圓的離心率知=，c=5，

　　b2=c2-a2=25-16=9，

　　曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.

　　(2)由x2-y2=2，知a=b=，c=2.

　　由雙曲線定義，|PF1|-|PF2|=2a=2，

　　又|PF1|=2|PF2|，

　　|PF1|=4，|PF2|=2，

　　在PF1F2中，|F1F2|=2c=4，由余弦定理，得

　　cosF1PF2==.

　　(3)如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為E，則E(4,0).由雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程得|PF|-|PE|=4，則|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由圖可得，當(dāng)A，P、E三點(diǎn)共線時(shí)，(|PE|+|PA|)min=|AE|=5，從而|PF|+|PA|的最小值為9.

　　【變式訓(xùn)練1】　(1)(2013·遼寧高考)已知F為雙曲線C：-=1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn).若PQ的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則PQF的周長為________.

　　(2)與雙曲線x2-2y2=2有公共漸近線，且過點(diǎn)M(2，-2)的雙曲線方程為________.

　　(3)設(shè)P是雙曲線-=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|=9，則|PF2|=________.

　　[解析]　(1)由雙曲線方程知a=3，b=4，c=5.

　　|PQ|=2·(2b)=16.

　　由左焦點(diǎn)F(-5,0)，且A(5,0)恰為右焦點(diǎn)，

　　PQ過右焦點(diǎn)A，P，Q在雙曲線的右支上，

　　根據(jù)雙曲線定義，|PF|-|PA|=2a，|QF|-|QA|=2a，

　　|PF|+|QF|-(|PA|+|QA|)=4a，

　　于是|PF|+|QF|=|PQ|+4a=16+4×3=28.

　　故PQF的周長為28+|PQ|=28+16=44.

　　(2)設(shè)與雙曲線-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程為-y2=k，將點(diǎn)(2，-2)代入得k=-(-2)2=-2.

　　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.

　　(3)由雙曲線定義||PF1|-|PF2||=8，又|PF1|=9，|PF2|=1或17，但應(yīng)注意雙曲線的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小為c-a=6-4=2>1，|PF2|=17.

　　[答案]　(1)44　(2)-=1　(3)17考向2　雙曲線的幾何性質(zhì)(高頻考點(diǎn))