[A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]

　　一、填空題

　　1.(2014·蘇州調(diào)研)已知雙曲線x2-=1(m>0)的離心率為2，則m的值為________.

　　[解析]　a2=1，b2=m，c=，e===2，m=3.

　　[答案]　3

　　2.(2014·蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線-=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(5,0)，則實(shí)數(shù)m=________.

　　[解析]　由題設(shè)知a2=9，b2=m，9+m=25，m=16.

　　[答案]　16

　　3.(2014·蘇州四市期末檢測)已知雙曲線-=1的一條漸近線方程為2x-y=0，則該雙曲線的離心率為________.

　　[解析]　由題意得=2，b=2a，c2=a2+b2=a2+4a2=5a2，

　　c=a，e==.

　　[答案]

　　4.(2014·南通、揚(yáng)州、泰州、連云港、淮安五市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的離心率為，且過點(diǎn)(1，)，則曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.

　　[解析]　由離心率>1知曲線C是雙曲線.雙曲線的離心率為，該雙曲線為等軸雙曲線，

　　設(shè)雙曲線方程為x2-y2=m，將點(diǎn)(1，)坐標(biāo)代入，得1-2=m，

　　m=-1故雙曲線方程為y2-x2=1.

　　[答案]　y2-x2=1

　　5.(2014·徐州市、宿遷市質(zhì)檢)已知點(diǎn)P(1,0)到雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的一條漸近線的距離為，則雙曲線C的離心率為________.

　　[解析]　漸近線方程為y=±x即bx±ay=0，=，整理得=，故e= = =.

　　[答案]

　　6.已知雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的離心率e=2，且它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1，則雙曲線C的方程為________.

　　[解析]　依題意c-a=1，

　　又e==2，即c=2a，

　　由聯(lián)立，得a=1，c=2.

　　b2=c2-a2=3，故雙曲線C為x2-=1.

　　[答案]　x2-=1

　　7.(2014·泰州期末檢測)已知雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P.若PF1F2=30°，則該雙曲線的離心率為________.

　　[解析]　因?yàn)橐訤1F2為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，故F1PF2=90°，又PF1F2=30°，F(xiàn)1F2=2c，PF1=c，PF2=c，由雙曲線的定義知2a=PF1-PF2=(-1)c，e===+1.

　　[答案]　+1

　　8.(2014·鹽城模擬)若圓x2+y2=r2過雙曲線-=1的右焦點(diǎn)F，且圓與雙曲線的漸近線在第一、四象限的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，當(dāng)四邊形OAFB為菱形時(shí)，雙曲線的離心率為________.

　　[解析]　由題意，得OA=OF=AF，=tan =，

　　e= =2.

　　[答案]　2

　　二、解答題

　　9.根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　(1)虛軸長為12，離心率為;

　　(2)焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0,12).

　　(3)經(jīng)過兩點(diǎn)P(-3,2)和Q(-6，-7).

　　(4)右焦點(diǎn)為(，0)且與雙曲線-=1有相同的漸近線.

　　[解]　(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

　　-=1或-=1(a>0，b>0).

　　由題意知：2b=12，e==.

　　b=6，c=10，a=8.

　　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1或-=1.

　　(2)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a=12.

　　又2c=26，c=13.b2=c2-a2=25.

　　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.

　　(3)設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=1(mn>0).

　　解得

　　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1

　　(4)雙曲線C與C′：-=1有相同的漸近線，

　　設(shè)雙曲線C的方程為-=λ(λ≠0).

　　則雙曲線C：-=1，

　　又雙曲線C的右焦點(diǎn)為(，0)，

　　c=，則4λ+16λ=5，λ=.

　　故所求雙曲線C的方程為x2-=1.

　　10.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一條漸近線的傾斜角為，點(diǎn)(-4，-6)在雙曲線上，直線l的方程為x-my-4=0.

　　(1)求雙曲線的方程;

　　(2)若l與雙曲線的右支相交于A，B兩點(diǎn)，試證：以AB為直徑的圓M必與雙曲線的右準(zhǔn)線相交.

　　[解]　(1)由題意，設(shè)雙曲線的方程為3x2-y2=λ，

　　點(diǎn)(-4，-6)在雙曲線上，λ=3×42-62=12，

　　故所求雙曲線的方程為-=1.

　　(2)由l的方程為x-my-4=0，且l過雙曲線的右焦點(diǎn)F(4,0)，

　　設(shè)AB的中點(diǎn)為M.A，B，M在右準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，M1，

　　則==e=2，

　　所以=2，即=AA1+BB1，

　　所以圓M的半徑R=2MM1=2d，所以d=R0，b>0)與直線y=x無交點(diǎn)，則離心率e的取值范圍是________.

　　[解析]　因?yàn)殡p曲線的漸近線為y=±x，

　　要使直線y=x與雙曲線無交點(diǎn)，則直線y=x應(yīng)在兩漸近線之間.

　　所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，

　　c2-a2≤3a2，則c2≤4a2，故10，b>0)的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|=|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的漸近線方程為____________.

　　[解析]　設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，由|PF2|=|F1F2|得F2MPF1，由F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，知|F2M|=2a，在RtF1F2M中，|F1M|==2b，故|PF1|=4b.根據(jù)雙曲線的定義，得4b-2c=2a即2b-a=c，(2b-a)2=c2=a2+b2，3b=4a，

　　雙曲線的漸近線方程為y=±x，即y=±x即4x±3y=0

　　[答案]　4x±3y=0