考向3 直線方程的應(yīng)用(高頻考點(diǎn))
命題視角 直線方程幾乎每年都考，但一般不單獨(dú)考查，在高考命題中，以與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的形式出現(xiàn)，主要命題角度有：(1)直線方程與直線位置關(guān)系;(2)直線方程與圓的方程;(3)直線方程與基本不等式;(4)直線方程與向量;(5)直線方程與函數(shù);(6)直線方程與圓錐曲線.
【典例3】 (1)(2013·四川高考)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，-1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________.
(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)||·||取得最小值時(shí)，直線l的方程為_(kāi)_______.
[思路點(diǎn)撥] (1)直線AC與直線BD的交點(diǎn)為所求.
(2)設(shè)直線l的方程為+=1(a>0，b>0)，則A(a,0)，B(0，b)且+=1，再由數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算用a，b表示||·||，用基本不等式求最小值.
[解析] (1)直線AC方程為y=2x，直線BD方程為y=-x+6，兩式聯(lián)立解得x=2，y=4，直線AC與BD交點(diǎn)的坐標(biāo)(2,4)即為所求.
(2)設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a>0，b>0，直線l的方程為+=1，所以+=1.故||·||=-·=-(a-2，-1)·(-2，b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)-5=+≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x+y-3=0.
[答案] (1)(2,4) (2)x+y-3=0,【通關(guān)錦囊】
1.利用直線方程解決問(wèn)題，為簡(jiǎn)化運(yùn)算可靈活選用直線方程的形式：一般地，已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式;已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式;已知截距選擇截距式.
2.掌握幾種常見(jiàn)求最值的方法(1)中求距離之和最小，使用的是平面幾何的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短，(2)中求||·||最小值，使用了基本不等式，(3)中求圓面積最大值，使用的是一次函數(shù)的單調(diào)性.
【變式訓(xùn)練3】 (1)(2014·四川高考改編)設(shè)mR，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x，y)，
圖811
則|PA|+|PB|的取值范圍是________.
(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，如圖811所示，求ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.
[解析] (1)
由消去m得2+2=，即P點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，如圖，在P1處時(shí)，|PA|+|PB|最大為2，此時(shí)P1OAB，而當(dāng)P與A或B重合時(shí)，|PA|+|PB|最小為.
[答案] [，2]
(2)法一：設(shè)直線l的方程為+=1(a>0，b>0)，則A(a，0)，B(0，b)，ABO的面積S=ab，
直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，
+=1≥2，即ab≥24.
當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=6，b=4時(shí)取等號(hào).
S=ab≥12，當(dāng)且僅當(dāng)a=6，b=4時(shí)有最小值12.
此時(shí)直線l的方程為+=1，即2x+3y-12=0.
法二：設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3)(k<0).
令x=0，得y=2-3k;令y=0，得x=3-.
A，B(0,2-3k).
S△ABO=(2-3k)
=
≥
=×(12+12)=12.
當(dāng)且僅當(dāng)-9k=時(shí)，即k=-時(shí)，等號(hào)成立.
即ABO面積的最小值為12.
故所求直線的方程為2x+3y-12=0.
掌握1條規(guī)律 斜率k是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)傾斜角α≠90°時(shí)，k=tan α.直線都有傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率，傾斜角為90°的直線無(wú)斜率.
熟記2種方法 求直線方程的方法
1.直接法：根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)闹本�方程形式，直接求
出直線方程. 2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件中構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組).求出待定系數(shù)，從而求出直線方程.
勿忘3點(diǎn)注意 1.求直線的傾斜角時(shí)要注意其范圍. 2.應(yīng)用“點(diǎn)斜式”和“斜截式”方程時(shí)，要注意討論斜率是否存在. 3.應(yīng)用截距式方程時(shí)要注意討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，截距是否為0.
(見(jiàn)學(xué)生用書(shū)第162頁(yè))
思想方法之17聯(lián)想斜率公式巧求函數(shù)值域
函數(shù)z=的值域?yàn)開(kāi)_______.
[解析] 設(shè)=y，則有x2+y2=1(y≥0)，即點(diǎn)(x，y)為半圓x2+y2=1(y≥0)上的點(diǎn)，即z=.所以z可看成點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)A(4,1)所在直線的斜率.
