12.已知函數(shù)f(x)=ln x-px+1.

　　(1)求函數(shù)f(x)的極值點;

　　(2)若對任意的x>0，恒有f(x)≤0，求p的取值范圍;

　　(3)證明：++…+<(nN，n≥2).

　　解析：(1)由已知f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=-p=， x>0，當(dāng)p≤0時，f′(x)>0， f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，

　　f(x)無極值點;

　　當(dāng)p>0時，令f′(x)=0， x=(0，+∞)，f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：

　　x f′(x) + 0 - f(x) 增 極大 減 從上表可以看出：當(dāng)p>0時，f(x)有唯一的極大值點x=.

　　(2)當(dāng)p≤0時，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，

　　所以不可能對任意的x>0，恒有f(x)≤0，

　　當(dāng)p>0時，由(1)知在x=處取得極大值f=ln ，此時極大值也是最大值.要使f(x)≤0恒成立，只需f=ln ≤0，解得p≥1，所以p的取值范圍是[1，+∞).

　　(3)證明：令p=1，由(2)知ln x-x+1≤0，

　　ln x≤x-1，

　　n∈N，n≥2， 令x=n2，則ln n2≤n2-1，

　　≤=1-，

　　++…+

　　≤×

　　=×

　　<-×

　　=--+-+…+-×

　　=-×

　　=，

　　所以結(jié)論成立.