三、解答題

　　9.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1.

　　(1)當x=1時，f(x)取得極值，求a的值;

　　(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;

　　(3)若對任意mR，直線y=-x+m都不是曲線y=f(x)的切線，求a的取值范圍.

　　解析：(1)因為f′(x)=x2-a，

　　當x=1時，f(x)取得極值，所以f′(1)=1-a=0，a=1.

　　又當x(-1,1)時，f′(x)<0;當x(1，+∞)時，f′(x)>0，

　　所以f(x)在x=1處取得極小值，即a=1時符合題意.

　　(2)當a≤0時，f′(x)>0對x(0,1)恒成立，

　　所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，f(x)在x=0處取得最小值f(0)=1.

　　當a>0時，令f′(x)=x2-a=0，

　　x1=-，x2=，

　　當0

　　當x∈(0，)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;

　　當x∈(，1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.

　　所以f(x)在x=處取得最小值f()=1-.

　　當a≥1時，≥1.

　　x(0,1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

　　所以f(x)在x=1處取得最小值f(1)=-a.

　　綜上所述，當a≤0時，f(x)在x=0處取得最小值f(0)=1;

　　當0

　　當a≥1時，f(x)在x=1處取得最小值f(1)=-a.

　　(3)因為m∈R，直線y=-x+m都不是曲線y=f(x)的切線，

　　所以f′(x)=x2-a≠-1對xR恒成立，

　　只要f′(x)=x2-a的最小值大于-1即可.

　　而f′(x)=x2-a的最小值為f(0)=-a，

　　所以-a>-1，即a<1.

　　故a的取值范圍是(-∞，1).

　　10.已知函數(shù)f(x)=x-ax2-ln(1+x)，其中aR.

　　(1)若x=2是f(x)的極值點，求a的值;

　　(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

　　(3)若f(x)在[0，+∞)上的最大值是0，求a的取值范圍.

　　命題立意：本題考查導數(shù)與函數(shù)的極值、單調(diào)性、最值等知識，考查考生分析問題、解決問題的能力，考查函數(shù)與方程、分類整合等數(shù)學思想方法.(1)根據(jù)可導函數(shù)在一定點處取得極值的必要條件是其導數(shù)等于零，得出關于a的方程即可求出a，再根據(jù)極值點兩側(cè)導數(shù)值異號進行檢驗;(2)討論導數(shù)的符號，就參數(shù)a的取值情況進行分類討論即可;(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值點，以及函數(shù)最大值的概念分情況解決.

　　解析：(1)f′(x)=，x(-1，+∞).

　　依題意，得f′(2)=0，解得a=.

　　經(jīng)檢驗，a=時，符合題意.

　　(2)當a=0時，f′(x)=，x(-1，+∞).

　　故f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，+∞)，單調(diào)減區(qū)間是(-1,0).

　　當a>0時，令f′(x)=0，得

　　x1=0，x2=-1，

　　當0

　　f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是(-1,0).

　　當a=1時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(-1，+∞).

　　當a>1時，-11時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是-1,0，單調(diào)減區(qū)間是(0，+∞).

　　(3)由(2)知a≤0時，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，由f(0)=0知不合題意.

　　當00，f(x)在區(qū)間上遞增可知，f>f(0)=0知不合題意.

　　當a≥1時，f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減，可得f(x)在[0，+∞)上的最大值是f(0)=0，符合題意.

　　f(x)在[0，+∞)上的最大值是0時，a的取值范圍是[1，+∞).

　　11.設函數(shù)f(x)=xln x(x>0).

　　(1)求函數(shù)f(x)的最小值;

　　(2)設F(x)=ax2+f′(x)(aR)，討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性;

　　(3)斜率為k的直線與曲線y=f′(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，

　　令f′(x)=0，得x=.

　　當x時，f′(x)<0;

　　當x時，f′(x)>0.

　　當x=時，f(x)min=ln=-.

　　(2)F(x)=ax2+ln x+1(x>0)，

　　F′(x)=2ax+=(x>0).

　　當a≥0時，恒有F′(x)>0，F(xiàn)(x)在(0，+∞)上是增函數(shù);

　　當a<0時，

　　令F′(x)>0，得2ax2+1>0，

　　解得0.

　　綜上，當a≥0時，F(xiàn)(x)在(0，+∞)上是增函數(shù);

　　當a<0時，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

　　(3)k==.

　　要證x1<1知ln t>0，故等價于證ln t1).(*)

　　設g(t)=t-1-ln t(t≥1)，

　　則g′(t)=1-≥0(t≥1)，

　　故g(t)在[1，+∞)上是增函數(shù).

　　當t>1時，g(t)=t-1-ln t>g(1)=0，

　　即t-1>ln t(t>1).

　　設h(t)=tln t-(t-1)(t≥1)，

　　則h′(t)=ln t≥0(t≥1)，

　　故h(t)在[1，+∞)上是增函數(shù).

　　當t>1時，h(t)=tln t-(t-1)>h(1)=0，

　　即t-11).

　　由知(*)成立，得證.