20.(本小題滿分12分) (2016·河南八校聯(lián)考)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8y的焦點(diǎn).

圖6

(1)求橢圓C的方程;

(2)點(diǎn)P(2,3)，Q(2，-3)在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，

若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值;

當(dāng)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足APQ=BPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解]　(1)設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0)，則由題意可知b=2.2分

由=，a2=c2+b2，得a=4.

橢圓C的方程為+=1.4分

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y=x+t，5分

代入+=1，得x2+tx+t2-12=0.6分

由Δ>0，解得-4

由韋達(dá)定理得x1+x2=-t，x1x2=t2-12.

四邊形APBQ的面積S=×6×|x1-x2|==3，

當(dāng)t=0，Smax=12.8分

由APQ=BPQ，可知PA，PB的斜率之和為0，

設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k(x-2).

由整理得(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0.

x1+2=.9分

同理，PB的直線方程為y-3=-k(x-2)，可得x2+2==.

x1+x2=，x1-x2=.10分

kAB==

==.

所以AB的斜率為定值.12分

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ln ax-(a≠0).

(1)求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值;

(2)求證：對(duì)于任意正整數(shù)n，均有1+++…+ ≥ln (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

解]　(1)由題意f′(x)=.2分

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，

此時(shí)函數(shù)在(0，a)上是減函數(shù)，在(a，+∞)上是增函數(shù)，

f(x)min=f(a)=ln a2，無(wú)最大值.4分

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞，0)，

此時(shí)函數(shù)在(-∞，a)上是減函數(shù)，在(a,0)上是增函數(shù)，f(x)min=f(a)=ln a2，無(wú)最大值. 6分

(2)證明：取a=1，由(1)知f(x)=ln x-≥f(1)=0，故≥1-ln x=ln ，10分

取x=1,2,3，…，n，則1+++…+≥ln .12分

請(qǐng)考生在第22～2題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

2.(本小題滿分10分)選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸.已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin θ=a(a>0)，射線θ=φ，θ=φ+，θ=φ-，θ=+φ與曲線C1分別交異于極點(diǎn)O的四點(diǎn)A，B，C，D.

(1)若曲線C1關(guān)于曲線C2對(duì)稱，求a的值，并把曲線C1和C2化成直角坐標(biāo)方程;

(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.

解]　(1) C1：(x-1)2+(y-1)2=2，C2：y=a.3分

因?yàn)榍�線C1關(guān)于曲線C2對(duì)稱，所以a=1，C2：y=1.5分

(2)|OA|=2sin，6分

|OB|=2sin=2cos φ，7分

|OC|=2sin φ，8分

|OD|=2sin=2cos，9分

所以|OA|·|OC|+|OB|·|OD|=4.10分

2.(本小題滿分10分)選修4­5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=|x-a|.

(1)若f(x)≤m的解集為-1,5]，求實(shí)數(shù)a，m的值;

(2)當(dāng)a=2且0≤t<2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)+t≥f(x+2).

解]　(1)因?yàn)閨x-a|≤m，所以 a-m≤x≤a+m，3分

所以

解得a=2，m=3.5分

(2)a=2時(shí)等價(jià)于|x-2|+t≥|x|，6分

當(dāng)x≥2時(shí)，x-2+t≥x，

0≤t<2，舍去;7分

當(dāng)0≤x<2時(shí)，2-x+t≥x，

0≤x≤，成立;8分

當(dāng)x<0時(shí)，2-x+t≥-x，成立.9分

所以原不等式的解集是 .10分