一、選擇題

　　1. (2014•山東煙臺，第7題3分)如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位線EF與對角線BD相交于點M，且BD⊥CD，則MF的長為(　　)

　　A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4.5

　　考點：等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形中30°銳角的性質(zhì)，梯形及三角形的中位線.

　　分析： 根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠C的關(guān)系，∠ABD與∠ADB的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABD與∠ADB的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BC的長，再根據(jù)三角形的中位線，可得答案.

　　解答：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，

　　∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC.∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC.

　　∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6.

　　∵EF是梯形中位線，∴MF是三角形BCD的中位線，∴MF=BC= 6=3，

　　故選：B.

　　點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，利用了等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì).

　　2.(2014•湖南懷化，第5題，3分)如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC與BD相交于點O，則下列判斷不正確的是(　　)

　　A. △ABC≌△DCB B. △AOD≌△COB C. △ABO≌△DCO D. △ADB≌△DAC

　　考點： 等腰梯形的性質(zhì);全等三角形的判定.

　　分析： 由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易證得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC;繼而可證得∠ABO=∠DCO，則可證得△ABO≌△DCO.

　　解答： 解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

　　∴∠ABC=∠DCB，

　　在△ABC和△DCB中，

　　∴△ABC≌△DCB(SAS);故正確;

　　B、∵AD∥BC，

　　∴△AOD∽△COB，

　　∵BC>AD，

　　∴△AOD不全等于△COB;故錯誤;

　　C、∵△ABC≌△DCB，

　　∴∠ACB=∠DBC，

　　∵∠ABC=∠DCB，

　　∴∠ABO=∠DCO，

　　在△ABO和△DCO中，

　　∴△ABO≌△DCO(AAS);故正確;

　　D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

　　∴∠BAD=∠CDA，

　　在△ADB和△DAC中，

　　∴△ADB≌△DAC(SAS)，故正確.

　　故選B.

　　點評： 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

　　3. (2014•山東淄博,第7題4分)如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC、DB相交于點P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC.則cos∠DPC的值是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 等腰梯形的性質(zhì).

　　分析： 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根據(jù)∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性質(zhì)求出∠DPC的度數(shù)，進而得出結(jié)論.

　　解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，

　　∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，

　　∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，

　　∵AB=AD=DC，

　　∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，

　　∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，

　　∵∠BAC=∠CDB=90°，

　　∴3∠ABD=90°，

　　∴∠ABD=30°，

　　在△ABP中，

　　∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，

　　∴∠APB=60°，

　　∴∠DPC=60°，

　　∴cos∠DPC=cos60°=.

　　故選A.

　　點評： 本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，熟知等腰梯形同一底上的兩個角相等是解答此題的關(guān)鍵.

　　4.(2014•浙江寧波，第8題4分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，則△ABC與△DCA的面積比為( )

　　A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. ：

　　考點： 相似三角形的判定與性質(zhì).

　　分析： 先求出△CBA∽△ACD，求出 = ，COS∠ACB•COS∠DAC= ，得出△ABC與△DCA的面積比= .

　　解答： 解：∵AD∥BC，

　　∴∠ACB=∠DAC

　　又∵∠B=∠ACD=90°，

　　∴△CBA∽△ACD

　　AB=2，DC=3，

　　∴COS∠ACB= = ，

　　COS∠DAC= =

　　∵△ABC與△DCA的面積比= ，

　　∴△ABC與△DCA的面積比= ，

　　故選：C.

　　點評： 本題主要考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是明確△ABC與△DCA的面積比= .

　　5. (2014•湘潭，第3題，3分)如圖，AB是池塘兩端，設計一方法測量AB的距離，取點C，連接AC、BC，再取它們的中點D、E，測得DE=15米，則AB=(　　)米.

　　(第1題圖)

　　A. 7.5 B. 15 C. 22.5 D. 30

　　考點： 三角形中位線定理

　　分析： 根據(jù)三角形的中位線得出AB=2DE，代入即可求出答案.

　　解答： 解：∵D、E分別是AC、BC的中點，DE=15米，

　　∴AB=2DE=30米，

　　故選D.

　　點評： 本題考查了三角形的中位線的應用，注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

　　6.(2014•德州，第7題3分)如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為(　　)

　　A. 4 米 B. 6 米 C. 12 米 D. 24米

　　考點： 解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

　　分析： 先根據(jù)坡度的定義得出BC的長，進而利用勾股定理得出AB的長.

　　解答： 解：在Rt△ABC中，∵ =i= ，AC=12米，

　　∴BC=6米，

　　根據(jù)勾股定理得：

　　AB= =6 米，

　　故選B.

　　點評： 此題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，勾股定理，難度適中.根據(jù)坡度的定義求出BC的長是解題的關(guān)鍵.

　　7. (2014•廣西賀州，第9題3分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，則梯形ABCD的周長為(　　)

　　A. 12 B. 15 C. 12 D. 15

　　考點： 等腰梯形的性質(zhì).

　　分析： 過點A作AE∥CD，交BC于點E，可得出四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定義求出∠EAC的度數(shù)，故可得出四邊形ADEC是菱形，再由等邊三角形的判定定理得出△ABE是等邊三角形，由此可得出結(jié)論.

　　解答： 解：過點A作AE∥CD，交BC于點E，

　　∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，

　　∴AD∥BC，

　　∴四邊形ADCE是平行四邊形，

　　∴∠AEB=∠BCD=60°，

　　∵CA平分∠BCD，

　　∴∠ACE=∠BCD=30°，

　　∵∠AEB是△ACE的外角，

　　∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，

　　∴∠EAC=30°，

　　∴AE=CE=3，

　　∴四邊形ADEC是菱形，

　　∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，

　　∴△ABE是等邊三角形，

　　∴AB=BE=AE=3，

　　∴梯形ABCD的周長=AB+(BE+CE)+CD+AD=3+3+3+3+3=15.

　　故選D.

　　點評： 本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵.

　　8.(2014•襄陽，第10題3分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，則∠A等于(　　)

　　A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°

　　考點： 梯形;等腰三角形的性質(zhì);平行四邊形的判定與性質(zhì).

　　分析： 根據(jù)等邊對等角可得∠DEC=80°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°﹣80°=100°.

　　解答： 解：∵DE=DC，∠C=80°，

　　∴∠DEC=80°，

　　∵AB∥DE，

　　∴∠B=∠DEC=80°，

　　∵AD∥BC，

　　∴∠A=180°﹣80°=100°，

　　故選：C.

　　點評： 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補.

　　9.(2014•臺灣，第3題3分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E點在BC上，且AE⊥BC.若AB=10，BE=8，DE=6 ，則AD的長度為何?(　　)

　　A.8 B.9 C.62 D.63

　　分析：利用勾股定理列式求出AE，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DAE=90°，然后利用勾股定理列式計算即可得解.

　　解：∵AE⊥BC，

　　∴∠AEB=90°，

　　∵AB=10，BE=8，

　　∴AE=AB2-BE2=102-82=6，

　　∵AD∥BC，

　　∴∠DAE=∠AEB=90°，

　　∴AD=DE2-AE2=(63)2-62 =62.

　　故選C.

　　點評：本題考查了梯形，勾股定理，是基礎題，熟記定理并確定出所求的邊所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

　　10. (2014年廣西欽州，第10題3分)如圖，等腰梯形ABCD的對角線長為13，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，則四邊形EFGH的周長是(　　)

　　A. 13 B. 26 C. 36 D. 39

　　考點： 等腰梯形的性質(zhì);中點四邊形.

　　分析： 首先連接AC，BD，由點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，可得EH，F(xiàn)G，EF，GH是三角形的中位線，然后由中位線的性質(zhì)求得答案.

　　解答： 解：連接AC，BD，

　　∵等腰梯形ABCD的對角線長為13，

　　∴AC=BD=13，

　　∵點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，

　　∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5，

　　∴四邊形EFGH的周長是：EH+EF+FG+GF=26.

　　故選B.

　　點評： 此題考查了等腰梯形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.