三.解答題

　　1. (2014年江蘇南京，第19題)如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F.

　　(1)求證：四邊形DBFE是平行四邊形;

　　(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形DBEF是菱形?為什么?

　　(第1題圖)

　　考點(diǎn)：三角形的中位線、菱形的判定

　　分析：(1)根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC，然后根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明;

　　(2)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明.

　　(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

　　∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形;

　　(2)解答：當(dāng)AB=BC時，四邊形DBEF是菱形.

　　理由如下：∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD= AB，∵DE是△ABC的中位線，

　　∴DE= BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴四邊形DBFE是菱形.

　　點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及菱形與平行四邊形的關(guān)系，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.

　　2. (2014•樂山，第21題10分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.若AD=1，AB=2 ，求CE的長.

　　考點(diǎn)： 直角梯形;矩形的判定與性質(zhì);解直角三角形..

　　分析： 利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BH的長，進(jìn)而得出BC的長，即可得出CE的長.

　　解答： 解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，則AD=HC=1，

　　在△ABH中，∠B=30°，AB=2 ，

　　∴cos30°= ，

　　即BH=ABcos30°=2 × =3，

　　∴BC=BH+BC=4，

　　∵CE⊥AB，

　　∴CE= BC=2.

　　點(diǎn)評： 此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用以及直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半等知識，得出BH的長是解題關(guān)鍵.

　　3. (2014•攀枝花，第19題6分)如圖，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且A(2，﹣3)，C(0，2).

　　(1)求過點(diǎn)B的雙曲線的解析式;

　　(2)若將等腰梯形OABC向右平移5個單位，問平移后的點(diǎn)C是否落在(1)中的雙曲線上?并簡述理由.

　　考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;坐標(biāo)與圖形變化-平移.

　　分析： (1)過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和點(diǎn)A的坐標(biāo)求出CD、BD，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)雙曲線的解析式為y= (k≠0)，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式解答;

　　(2)根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加求出平移后的點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷.

　　解答： 解：(1)如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，

　　∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A(2，﹣3)，

　　∴CD=2，BD=3，

　　∵C(0，2)，

　　∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，5)，

　　設(shè)雙曲線的解析式為y= (k≠0)，

　　則 =5，

　　解得k=10，

　　∴雙曲線的解析式為y= ;

　　(2)平移后的點(diǎn)C落在(1)中的雙曲線上.x k b 1 . c o m

　　理由如下：點(diǎn)C(0，2)向右平移5個單位后的坐標(biāo)為(5，2)，

　　當(dāng)x=5時，y= =2，

　　∴平移后的點(diǎn)C落在(1)中的雙曲線上.

　　點(diǎn)評： 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

　　4. (2014•黑龍江龍東,第26題8分)已知△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過B、M、C分別作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F.

　　(1)當(dāng)直線m經(jīng)過B點(diǎn)時，如圖1，易證EM= CF.(不需證明)

　　(2)當(dāng)直線m不經(jīng)過B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖2、圖3的位置時，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明.

　　考點(diǎn)： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);梯形中位線定理..

　　分析： (1)利用垂直于同一直線的兩條直線平行得出ME∥CF，進(jìn)而利用中位線的性質(zhì)得出即可;

　　(2)根據(jù)題意得出圖2的結(jié)論為：ME= (BD+CF)，圖3的結(jié)論為：ME= (CF﹣BD)，進(jìn)而利用△DBM≌△KCM(ASA)，即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案.

　　解答： 解：(1)如圖1，

　　∵M(jìn)E⊥m于E，CF⊥m于F，

　　∴ME∥CF，

　　∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，

　　∴E為BF中點(diǎn)，

　　∴ME是△BFC的中位線，

　　∴EM= CF.

　　(2)圖2的結(jié)論為：ME= (BD+CF)，

　　圖3的結(jié)論為：ME= (CF﹣BD).

　　圖2的結(jié)論證明如下：連接DM并延長交FC的延長線于K

　　又∵BD⊥m，CF⊥m

　　∴BD∥CF

　　∴∠DBM=∠KCM

　　在△DBM和△KCM中

　　∴△DBM≌△KCM(ASA)，

　　∴DB=CK DM=MK

　　由題意知：EM= FK，

　　∴ME= (CF+CK)= (CF+DB)

　　圖3的結(jié)論證明如下：連接DM并延長交FC于K

　　又∵BD⊥m，CF⊥m

　　∴BD∥CF

　　∴∠MBD=∠KCM

　　在△DBM和△KCM中

　　∴△DBM≌△KCM(ASA)

　　∴DB=CK，DM=MK，

　　由題意知：EM= FK，

　　∴ME= (CF﹣CK)= (CF﹣DB).

　　點(diǎn)評： 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△DBM≌△KCM(ASA)是解題關(guān)鍵.