5. (2014•青島，第13題3分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，對(duì)角線AC平分∠BCD，E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點(diǎn)，連接EF.點(diǎn)P是EF上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為　2 　.

　　考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問題;等腰梯形的性質(zhì).

　　分析： 要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考慮轉(zhuǎn)化PA、PB的值，從而找出其最小值求解.

　　解答： 解：∵E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是等腰梯形，

　　∴B點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)C點(diǎn)，

　　∴AC即為PA+PB的最小值，

　　∵∠BCD=60°，對(duì)角線AC平分∠BCD，

　　∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，

　　∴∠BAC=90°，

　　∵AD=2，

　　∴PA+PB的最小值=AB•tan60°= .

　　故答案為：2 .

　　點(diǎn)評(píng)： 考查等腰梯形的性質(zhì)和軸對(duì)稱等知識(shí)的綜合應(yīng)用.綜合運(yùn)用這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.

　　6. (2014•攀枝花，第16題4分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1.如果△BEC的面積為2，那么四邊形ABED的面積是　 　.

　　考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì);梯形.

　　分析： 首先延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)F，易證得△BEF≌△BEC，則可得DF：FC=1：4，又由△ADF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得△ADF的面積，繼而求得答案.

　　解答： 解：延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)F，

　　∵BE平分∠ABC，

　　∴∠EBF=∠EBC，

　　∵BE⊥CD，

　　∴∠BEF=∠BEC=90°，

　　在△BEF和△BEC中，

　　，

　　∴△BEF≌△BEC(ASA)，

　　∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2，

　　∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4，

　　∵CE：ED=2：1

　　∴DF：FC=1：4，

　　∵AD∥BC，

　　∴△ADF∽△BCF，

　　∴ =( )2= ，

　　∴S△ADF= ×4= ，

　　∴S四邊形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣ = .

　　故答案為： .

　　點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及梯形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

　　7.(2014•湖北黃石,第14題3分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，則△BCE的周長(zhǎng)為　 　.

　　第1題圖

　　考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì).

　　分析： 首先根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得∠D=∠C=45°，進(jìn)而得到∠EBC=90°，然后證明四邊形ABED是平行四邊形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根據(jù)勾股定理可得BE長(zhǎng)，進(jìn)而得到△BCE的周長(zhǎng).

　　解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，

　　∴∠D=∠C=45°，

　　∵EB∥AD，

　　∴∠BEC=45°，

　　∴∠EBC=90°，

　　∵AB∥CD，BE∥AD，

　　∴四邊形ABED是平行四邊形，

　　∴AB=DE=1，

　　∵CD=3，

　　∴EC=3﹣1=2，

　　∵EB2+CB2=EC2，

　　∴EB=BC= ，

　　∴△BCE的周長(zhǎng)為：2+2 ，

　　故答案為：2+2 .

　　點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等.

　　三.解答題

　　1. (2014年江蘇南京，第19題)如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F.

　　(1)求證：四邊形DBFE是平行四邊形;

　　(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBEF是菱形?為什么?

　　(第1題圖)

　　考點(diǎn)：三角形的中位線、菱形的判定

　　分析：(1)根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC，然后根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明;

　　(2)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明.

　　(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

　　∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形;

　　(2)解答：當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形DBEF是菱形.

　　理由如下：∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD= AB，∵DE是△ABC的中位線，

　　∴DE= BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴四邊形DBFE是菱形.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及菱形與平行四邊形的關(guān)系，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.

　　2. (2014•樂山，第21題10分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.若AD=1，AB=2 ，求CE的長(zhǎng).

　　考點(diǎn)： 直角梯形;矩形的判定與性質(zhì);解直角三角形..

　　分析： 利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BH的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BC的長(zhǎng)，即可得出CE的長(zhǎng).

　　解答： 解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，則AD=HC=1，

　　在△ABH中，∠B=30°，AB=2 ，

　　∴cos30°= ，

　　即BH=ABcos30°=2 × =3，

　　∴BC=BH+BC=4，

　　∵CE⊥AB，

　　∴CE= BC=2.

　　點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用以及直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半等知識(shí)，得出BH的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

　　3. (2014•攀枝花，第19題6分)如圖，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且A(2，﹣3)，C(0，2).

　　(1)求過點(diǎn)B的雙曲線的解析式;

　　(2)若將等腰梯形OABC向右平移5個(gè)單位，問平移后的點(diǎn)C是否落在(1)中的雙曲線上?并簡(jiǎn)述理由.

　　考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;坐標(biāo)與圖形變化-平移.

　　分析： (1)過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和點(diǎn)A的坐標(biāo)求出CD、BD，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)雙曲線的解析式為y= (k≠0)，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式解答;

　　(2)根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加求出平移后的點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷.

　　解答： 解：(1)如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，

　　∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A(2，﹣3)，

　　∴CD=2，BD=3，

　　∵C(0，2)，

　　∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，5)，

　　設(shè)雙曲線的解析式為y= (k≠0)，

　　則 =5，

　　解得k=10，

　　∴雙曲線的解析式為y= ;

　　(2)平移后的點(diǎn)C落在(1)中的雙曲線上.x k b 1 . c o m

　　理由如下：點(diǎn)C(0，2)向右平移5個(gè)單位后的坐標(biāo)為(5，2)，

　　當(dāng)x=5時(shí)，y= =2，

　　∴平移后的點(diǎn)C落在(1)中的雙曲線上.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.