題型一　雙曲線的漸近線問題

　　例1　(2013·課標全國Ⅰ)已知雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為________.

　　破題切入點　根據雙曲線的離心率求出a和b的比例關系，進而求出漸近線.

　　答案　y=±x

　　解析　由e==知，a=2k，c=k，k∈(0，+∞)，

　　由b2=c2-a2=k2，知b=k.所以=.

　　即漸近線方程為y=±x.

　　題型二　雙曲線的離心率問題

　　例2　已知O為坐標原點，雙曲線-=1(a>0，b>0)的右焦點為F，以OF為直徑作圓與雙曲線的漸近線交于異于原點的兩點A，B，若(+)·=0，則雙曲線的離心率e為________.

　　破題切入點　數形結合，畫出合適圖形，找出a，b間的關系.

　　答案

　　解析　如圖，設OF的中點為T，由(+)·=0可知AT⊥OF，

　　又A在以OF為直徑的圓上，∴A，

　　又A在直線y=x上，∴a=b，∴e=.

　　題型三　雙曲線的漸近線與離心率綜合問題

　　例3　已知A(1,2)，B(-1,2)，動點P滿足⊥.若雙曲線-=1(a>0，b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是________.

　　破題切入點　先由直接法確定點P的軌跡(為一個圓)，再由漸近線與該軌跡無公共點得到不等關系，進一步列出關于離心率e的不等式進行求解.

　　答案　(1,2)

　　解析　設P(x，y)，由題設條件，

　　得動點P的軌跡為(x-1)(x+1)+(y-2)·(y-2)=0，

　　即x2+(y-2)2=1，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓.

　　又雙曲線-=1(a>0，b>0)的漸近線方程為y=±x，即bx±ay=0，

　　由題意，可得>1，即>1，

　　所以e=<2，

　　又e>1，故11的條件，常用到數形結合.

　　(2)在求雙曲線的漸近線方程時要掌握其簡易求法.由y=±x±=0-=0，所以可以把標準方程-=1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程.雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個數據，由于==，當e逐漸增大時，的值就逐漸增大，雙曲線的“張口”就逐漸增大.

　　1.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)以及雙曲線-=1的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線-=1的離心率為________.

　　答案　2或

　　解析　由題意，可知雙曲線-=1的漸近線的傾斜角為30°或60°，則=或.

　　則e===

　　= =或2.

　　2.已知雙曲線C：-=1 (a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為________.

　　答案

　　解析　取雙曲線的漸近線y=x，則過F2與漸近線垂直的直線方程為y=-(x-c)，可解得點H的坐標為，則F2H的中點M的坐標為，代入雙曲線方程-=1可得-=1，整理得c2=2a2，即可得e==.

　　3.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2+y2-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為________.

　　答案　-=1

　　解析　∵雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x，

　　圓C的標準方程為(x-3)2+y2=4，

　　∴圓心為C(3,0).

　　又漸近線方程與圓C相切，

　　即直線bx-ay=0與圓C相切，

　　∴=2，∴5b2=4a2.①

　　又∵-=1的右焦點F2(，0)為圓心C(3,0)，

　　∴a2+b2=9.②

　　由①②得a2=5，b2=4.

　　∴雙曲線的標準方程為-=1.

　　4.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1(-c,0)，F2(c,0)，若雙曲線上存在點P使=，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________.

　　答案　(1，+1)

　　解析　根據正弦定理得=，

　　由=，

　　可得=，即==e，

　　所以PF1=ePF2.

　　因為e>1，

　　所以PF1>PF2，點P在雙曲線的右支上.

　　又PF1-PF2=ePF2-PF2=PF2(e-1)=2a，

　　解得PF2=.

　　因為PF2>c-a(不等式兩邊不能取等號，否則題中的分式中的分母為0，無意義)，

　　所以>c-a，即>e-1，

　　即(e-1)2<2，解得e<+1.

　　又e>1，所以e∈(1，+1).

　　5.(2014·湖北)已知F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2=，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為________.

　　答案

　　解析　設PF1=r1，PF2=r2(r1>r2)，

　　F1F2=2c，橢圓長半軸長為a1，雙曲線實半軸長為a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為e1，e2，

　　由(2c)2=r+r-2r1r2cos ，

　　得4c2=r+r-r1r2.

　　由得

　　所以+==.

　　令m===

　　=，

　　當=時，mmax=，

　　所以()max=，

　　即+的最大值為.

　　6.(2014·山東改編)已知a>b>0，橢圓C1的方程為+=1，雙曲線C2的方程為-=1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為________.

　　答案　x±y=0

　　解析　由題意知e1=，e2=，

　　∴e1·e2=·==.

　　又∵a2=b2+c，c=a2+b2，

　　∴c=a2-b2，

　　∴==1-()4，

　　即1-()4=，

　　解得=±，∴=.

　　令-=0，解得bx±ay=0，

　　∴x±y=0.