7.若橢圓+=1(a>b>0)與雙曲線-=1的離心率分別為e1，e2，則e1e2的取值范圍為_(kāi)_______.
答案 (0,1)
解析 可知e==1-，
e==1+，
所以e+e=2>2e1e100，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓x2+y2=的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若E為PF的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.
答案
解析 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，由于E為PF的中點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為FF′的中點(diǎn)，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且PF′=2×=a，故PF=3a，根據(jù)勾股定理得FF′=a.所以雙曲線的離心率為=.
9.(2014·浙江)設(shè)直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線-=1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m,0)滿足PA=PB，則該雙曲線的離心率是________.
答案
解析 雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x.
由得A(，)，
由得B(，)，
所以AB的中點(diǎn)C坐標(biāo)為(，).
設(shè)直線l：x-3y+m=0(m≠0)，
因?yàn)镻A=PB，所以PC⊥l，
所以kPC=-3，化簡(jiǎn)得a2=4b2.
在雙曲線中，c2=a2+b2=5b2，
所以e==.
10.(2013·湖南)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若PF1+PF2=6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______.
答案
解析 不妨設(shè)PF1>PF2，
則PF1-PF2=2a，
又∵PF1+PF2=6a，
∴PF1=4a，PF2=2a.
又在△PF1F2中，∠PF1F2=30°，
由正弦定理得，∠PF2F1=90°，∴F1F2=2a，
∴雙曲線C的離心率e==.
11.P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：-=1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足=λ+，求λ的值.
解 (1)點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上，
有-=1.
由題意有·=，
可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，
則e==.
(2)聯(lián)立得4x2-10cx+35b2=0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).
則①
設(shè)=(x3，y3)，=λ+，
即
又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x-5y=5b2，
有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
化簡(jiǎn)得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，
所以x-5y=5b2，x-5y=5b2.
由(1)可知c2=6b2，
由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2.
得λ2+4λ=0，解得λ=0或λ=-4.
12.(2014·江西)如圖，已知雙曲線C：-y2=1(a>0)的右焦點(diǎn)為F.點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過(guò)C上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)的直線l：-y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x=相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值.
解 (1)設(shè)F(c,0)，
直線OB方程為y=-x，
直線BF的方程為y=(x-c)，解得B(，-).
又直線OA的方程為y=x，
則A(c，)，kAB==.
又因?yàn)锳B⊥OB，所以·(-)=-1，
解得a2=3，
故雙曲線C的方程為-y2=1.
(2)由(1)知a=，則直線l的方程為
-y0y=1(y0≠0)，即y=.
因?yàn)閏==2，所以直線AF的方程為x=2，
所以直線l與AF的交點(diǎn)為M(2，);
直線l與直線x=的交點(diǎn)為N(，).
則==
=·.
因?yàn)镻(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則-y=1，
代入上式得=·
=·=，
即==為定值.
