題型一　利用橢圓的幾何性質(zhì)解題

　　例1　如圖，焦點在x軸上的橢圓+=1的離心率e=，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，求·的最大值和最小值.

　　破題切入點　本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是表示出·，根據(jù)橢圓的性質(zhì)確定變量的取值范圍.

　　解　設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0).由題意知a=2，

　　∵e==，∴c=1，∴b2=a2-c2=3.

　　所求橢圓方程為+=1.

　　∴-2≤x0≤2，-≤y0≤.

　　又F(-1,0)，A(2,0)，=(-1-x0，-y0)，

　　=(2-x0，-y0)，

　　∴·=x-x0-2+y

　　=x-x0+1=(x0-2)2.

　　當(dāng)x0=2時，·取得最小值0，

　　當(dāng)x0=-2時，·取得最大值4.

　　題型二　直線與橢圓相交問題

　　例2　已知直線l過橢圓8x2+9y2=72的一個焦點，斜率為2，l與橢圓相交于M、N兩點，求弦|MN|的長.

　　破題切入點　根據(jù)條件寫出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，用弦長公式求出.

　　解　由得11x2-18x-9=0.

　　由根與系數(shù)的關(guān)系，得xM+xN=，

　　xM·xN=-.

　　由弦長公式|MN|=|xM-xN|=·==.

　　題型三　點差法解題，設(shè)而不求思想

　　例3　已知橢圓+y2=1，求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程.

　　破題切入點　設(shè)出弦的兩端點，利用點差法求解.

　　解　設(shè)弦的兩端點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，

　　MN的中點為R(x，y)，

　　則x+2y=2，x+2y=2，

　　兩式相減并整理可得，

　　=-=-，①

　　將=2代入式①，

　　得所求的軌跡方程為x+4y=0(-MN，

　　由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.

　　3.已知橢圓中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則橢圓方程為________.

　　答案　+=1

　　解析　設(shè)橢圓的標(biāo)準方程為+=1(a>b>0).

　　由點(2，)在橢圓上知+=1.

　　又PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，

　　則PF1+PF2=2F1F2，

　　即2a=2·2c，=.

　　又c2=a2-b2，聯(lián)立得a2=8，b2=6.

　　4.(2014·大綱全國改編)已知橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點.若△AF1B的周長為4，則C的方程為________.

　　答案　+=1

　　解析　由e=，得=.①

　　又△AF1B的周長為4，

　　由橢圓定義，得4a=4，得a=，

　　代入①得c=1，所以b2=a2-c2=2，

　　故C的方程為+=1.

　　5.(2014·福建改編)設(shè)P，Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是________.

　　答案　6

　　解析　如圖所示，設(shè)以(0,6)為圓心，以r為半徑的圓的方程為x2+(y-6)2=r2(r>0)，與橢圓方程+y2=1聯(lián)立得方程組，消掉x2得9y2+12y+r2-46=0.

　　令Δ=122-4×9(r2-46)=0，

　　解得r2=50，

　　即r=5.

　　由題意易知P，Q兩點間的最大距離為r+=6.

　　6.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：+y2=1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是________.

　　答案

　　解析　設(shè)AF1=m，AF2=n，

　　則有m+n=4，m2+n2=12，

　　因此12+2mn=16，所以mn=2，

　　而(m-n)2=(2a)2=(m+n)2-4mn=16-8=8，

　　因此雙曲線的a=，c=，則有e==.

　　7.橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點分別是A、B，左、右焦點分別是F1、F2.若AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)1B成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為________.

　　答案

　　解析　由橢圓的性質(zhì)可知：AF1=a-c，F(xiàn)1F2=2c，F(xiàn)1B=a+c，

　　又AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)1B成等比數(shù)列，

　　故(a-c)(a+c)=(2c)2，

　　可得=.

　　8.(2014·遼寧)已知橢圓C：+=1，點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則AN+BN=________.

　　答案　12

　　解析　橢圓+=1中，a=3.

　　如圖，設(shè)MN的中點為D，

　　則DF1+DF2=2a=6.

　　∵D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點，

　　∴BN=2DF2，

　　AN=2DF1，

　　∴AN+BN=2(DF1+DF2)=12.