9.(2014·江西)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為-的直線與橢圓C：+=1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為________.

　　答案

　　解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

　　∴+=0，

　　∴=-·.

　　∵=-，

　　x1+x2=2，y1+y2=2，

　　∴-=-，

　　∴a2=2b2.又∵b2=a2-c2，

　　∴a2=2(a2-c2)，∴a2=2c2，∴=.

　　10.(2014·安徽)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+=1(0b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點(diǎn)為N.

　　(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率;

　　(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且MN=5F1N，求a，b.

　　解　(1)根據(jù)c=及題設(shè)知M(c，)，

　　=，2b2=3ac.

　　將b2=a2-c2代入2b2=3ac，

　　解得=，=-2(舍去).

　　故C的離心率為.

　　(2)由題意，得原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸，

　　所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，

　　故=4，即b2=4a.①

　　由MN=5F1N，得DF1=2F1N.

　　設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則

　　即

　　代入C的方程，得+=1.②

　　將①及c=代入②得+=1.

　　解得a=7，b2=4a=28，故a=7，b=2.

　　12.(2014·江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，連結(jié)BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)F1C.

　　(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且BF2=，求橢圓的方程;

　　(2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

　　解　設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0).

　　(1)因為B(0，b)，所以BF2==a.

　　又BF2=，故a=.

　　因為點(diǎn)C在橢圓上，

　　所以+=1，解得b2=1.

　　故所求橢圓的方程為+y2=1.

　　(2)因為B(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，

　　所以直線AB的方程為+=1.

　　解方程組得

　　所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

　　又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，

　　可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

　　因為直線F1C的斜率為=，

　　直線AB的斜率為-，且F1C⊥AB，

　　所以·=-1.

　　又b2=a2-c2，整理得a2=5c2.

　　故e2=，因此e=.