題型一　分組轉(zhuǎn)化法求和

　　例1　等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.

　　第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn=an+(-1)nln an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

　　破題切入點　(1)可以通過逐個驗證來確定數(shù)列的前三項，進而求得an;

　　(2)可以分組求和：將{bn}前n項和轉(zhuǎn)化為數(shù)列{an}和數(shù)列{(-1)nln an}前n項的和.

　　解　(1)當a1=3時，不合題意;

　　當a1=2時，當且僅當a2=6，a3=18時，符合題意;

　　當a1=10時，不合題意.

　　因此a1=2，a2=6，a3=18.所以公比q=3.

　　故an=2·3n-1 (n∈N*).

　　(2)因為bn=an+(-1)nln an

　　=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)

　　=2·3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]

　　=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3，

　　所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3.

　　所以當n為偶數(shù)時，Sn=2×+ln 3

　　=3n+ln 3-1;

　　當n為奇數(shù)時，

　　Sn=2×-(ln 2-ln 3)+ln 3

　　=3n-ln 3-ln 2-1.

　　綜上所述，Sn=

　　題型二　錯位相減法求和

　　例2　已知：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-n(n∈N*).

　　(1)求a1，a2的值;

　　(2)求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(3)若數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且滿足bn=nan(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

　　破題切入點　(1)代入求解即可.

　　(2)由Sn=2an-n得Sn-1=2an-1-(n-1)，n≥2，兩式相減構(gòu)造數(shù)列求通項公式.

　　(3)錯位相減求和.

　　解　(1)Sn=2an-n.

　　令n=1，解得a1=1;

　　令n=2，解得a2=3.

　　(2)Sn=2an-n，

　　所以Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2，n∈N*)，

　　兩式相減得an=2an-1+1，

　　所以an+1=2(an-1+1)(n≥2，n∈N*)，

　　又因為a1+1=2，

　　所以數(shù)列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.

　　所以an+1=2n，即通項公式an=2n-1(n∈N*).

　　(3)bn=nan，所以bn=n(2n-1)=n·2n-n，

　　所以Tn=(1·21-1)+(2·22-2)+(3·23-3)+…+(n·2n-n)，

　　Tn=(1·21+2·22+3·23+…+n·2n)-(1+2+3+…+n).

　　令Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n，①

　　2Sn=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1，②

　�、�-②，得-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1，

　　-Sn=-n·2n+1，

　　Sn=2(1-2n)+n·2n+1=2+(n-1)·2n+1，

　　所以Tn=2+(n-1)·2n+1-(n∈N*).

　　題型三　倒序相加法求和

　　例3　已知函數(shù)f(x)=(x∈R).

　　(1)證明：f(x)+f(1-x)=;

　　(2)若數(shù)列{an}的通項公式為an=f()(m∈N*，n=1,2，…，m)，求數(shù)列{an}的前m項和Sm;

　　(3)設數(shù)列{bn}滿足b1=，bn+1=b+bn，Tn=++…+，若(2)中的Sm滿足對不小于2的任意正整數(shù)m，Sm0，

　　則==-，

　　即=-，

　　所以Tn=(-)+(-)+…+(-)

　　=-=3-.

　　因為bn+1-bn=b>0，

　　所以bn+1>bn，

　　即數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

　　所以Tn關(guān)于n遞增，所以當n∈N*時，Tn≥T1.

　　因為b1=，b2=()2+=，

　　所以Tn≥T1=3-=.

　　由題意，知Sm<，即-<，解得m<，

　　所以正整數(shù)m的最大值為3.

　　題型四　裂項相消法求和

　　例4　在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a8成等比數(shù)列.

　　(1)已知數(shù)列{an}的前10項和為45，求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(2)若bn=，且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若Tn=-，求數(shù)列{an}的公差.

　　破題切入點　(1)列方程組(兩個條件)確定an.

　　(2)可以采用裂項相消法求得含有公差的表達式，再和已知Tn=-對比求得公差.

　　解　設數(shù)列{an}的公差為d，

　　由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得

　　a=a1·a8，即(a1+3d)2=a1(a1+7d)，

　　∴a+6a1d+9d2=a+7a1d，而d≠0，∴a1=9d.

　　(1)由數(shù)列{an}的前10項和為45可得

　　S10=10a1+d=45，

　　即90d+45d=45，故d=，a1=3，

　　故數(shù)列{an}的通項公式為an=3+(n-1)·

　　=(n+8).

　　(2)bn==，

　　則數(shù)列{bn}的前n項和為

　　Tn=[++…+]

　　=

　　=

　　=

　　=-.

　　所以=1，d=±1.

　　故數(shù)列{an}的公差d=1或-1.

　　總結(jié)提高　數(shù)列求和的主要方法有：

　　(1)分組求和法：一個數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，若將這個數(shù)列適當拆開，重新組合，就會變成幾個可以求和的部分，即能分別求和，然后再合并，或?qū)ψ帜竛分類討論后再求和.

　　(2)錯位相減法：這是推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，主要用于求{an·bn}的前n項和，其中{an}和{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

　　(3)倒序相加法： 這是推導等差數(shù)列前n項和時所用的方法，將一個數(shù)列倒過來排序，如果原數(shù)列相加時，若有公因式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和.

　　(4)裂項相消法：把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，消去一部分從而計算和的方法，適用于求通項為的前n項和，其中{an}若為等差數(shù)列，則=·(-).

　　其余還有公式法求和等.