1.若數(shù)列{an}的通項公式為an=，則其前n項和Sn為________.

　　答案　--

　　解析　因為an==-，

　　所以Sn=a1+a2+…+an

　　=1-+-+-+…+-+-

　　=1+--

　　=--.

　　2.已知數(shù)列1，3，5，7，…，則其前n項和Sn為________.

　　答案　n2+1-

　　解析　因為an=2n-1+，

　　則Sn=n+=n2+1-.

　　3.(2013·課標(biāo)全國Ⅰ改編)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，則m=________.

　　答案　5

　　解析　am=2，am+1=3，故d=1，

　　因為Sm=0，故ma1+d=0，

　　故a1=-，

　　因為am+am+1=5，

　　故am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5，

　　即m=5.

　　4.在數(shù)列{an}中，若存在一個確定的正整數(shù)T，對任意n∈N*滿足an+T=an，則稱{an}是周期數(shù)列，T叫作它的周期.已知數(shù)列{xn}滿足x1=1，x2=a(a≤1)，xn+2=|xn+1-xn|，當(dāng)數(shù)列{xn}的周期為3時，則{xn}的前2 013項和S2 013=________.

　　答案　1 342

　　解析　由xn+2=|xn+1-xn|，

　　得x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a，

　　x4=|x3-x2|=|1-2a|，

　　因為數(shù)列{xn}的周期為3，所以x4=x1，

　　即|1-2a|=1，解得a=0或a=1.

　　當(dāng)a=0時，數(shù)列{xn}為1,0,1,1,0,1，…，

　　所以S2 013=2×671=1 342.

　　當(dāng)a=1時，數(shù)列{xn}為1,1,0,1,1,0，…，

　　所以S2 013=2×671=1 342.

　　綜上，S2 013=1 342.

　　5.已知數(shù)列2 008,2 009,1，-2 008，-2 009，…，這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2 014項之和S2 014=________.

　　答案　2 010

　　解析　由已知得an=an-1+an+1(n≥2)，

　　∴an+1=an-an-1.

　　故數(shù)列的前8項依次為2 008,2 009,1，-2 008，-2 009，-1,2 008,2 009.

　　由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S6=0.

　　∵2 014=6×335+4，

　　∴S2 014=S4=2 008+2 009+1+(-2 008)=2 010.

　　6.數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為________.

　　答案　1 830

　　解析　∵an+1+(-1)nan=2n-1，

　　∴a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1，a9=a1，a10=17+a1，a11=2-a1，a12=23-a1，…，a57=a1，a58=113+a1，a59=2-a1，a60=119-a1，

　　∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234

　　==1 830.

　　7.在等比數(shù)列{an}中，a1=3，a4=81，若數(shù)列{bn}滿足bn=log3an，則數(shù)列的前n項和Sn=________.

　　答案

　　解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

　　則=q3=27，解得q=3.

　　所以an=a1qn-1=3×3n-1=3n，

　　故bn=log3an=n，

　　所以==-.

　　則數(shù)列的前n項和為1-+-+…+-=1-=.

　　8.對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1=1.{an}的“差數(shù)列”的通項公式為an+1-an=2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn=________.

　　答案　2n+1-n-2

　　解析　因為an+1-an=2n，

　　應(yīng)用累加法可得an=2n-1，

　　所以Sn=a1+a2+a3+…+an

　　=2+22+23+…+2n-n

　　=-n

　　=2n+1-n-2.

　　9.定義：若數(shù)列{An}滿足An+1=A，則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中，a1=2，點(an，an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上，其中n為正整數(shù).

　　(1)證明：數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列;

　　(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn，即Tn=(2a1+1)·(2a2+1)·…·(2an+1)，求數(shù)列{an}的通項公式及Tn關(guān)于n的表達式.

　　(1)證明　由題意得an+1=2a+2an，

　　得2an+1+1=4a+4an+1=(2an+1)2.

　　所以數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.

　　令cn=2an+1，所以lg cn+1=2lg cn.

　　因為lg(2a1+1)=lg 5≠0，

　　所以=2.

　　所以數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.

　　(2)解　因為lg(2a1+1)=lg 5，

　　所以lg(2an+1)=2n-1·lg 5，

　　所以2an+1=52n-1，

　　即an=(52n-1-1).

　　因為lg Tn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)

　　==(2n-1)lg 5.

　　所以Tn=52n-1.

　　10.(2014·湖南)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=，n∈N*.

　　(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(2)設(shè)bn=2an+(-1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和.

　　解　(1)當(dāng)n=1時，a1=S1=1;

　　當(dāng)n≥2時，

　　an=Sn-Sn-1=-=n.

　　故數(shù)列{an}的通項公式為an=n.

　　(2)由(1)知an=n，故bn=2n+(-1)nn.

　　記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則

　　T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).

　　記A=21+22+…+22n，B=-1+2-3+4-…+2n，則A==22n+1-2.

　　B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n，

　　故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n-2.

　　11.(2014·課標(biāo)全國Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

　　(1)證明{an+}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式;

　　(2)證明++…+<.

　　證明　(1)由an+1=3an+1

　　得an+1+=3(an+).

　　又a1+=，

　　所以{an+}是首項為，公比為3的等比數(shù)列.

　　an+=，因此{(lán)an}的通項公式為an=.

　　(2)由(1)知=.

　　因為當(dāng)n≥1時，3n-1≥2×3n-1，

　　所以≤.

　　于是++…+≤1++…+

　　=(1-)<.

　　所以++…+<.

　　12.(2014·山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.

　　(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(2)令bn=(-1)n-1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

　　解　(1)因為S1=a1，S2=2a1+×2=2a1+2，

　　S4=4a1+×2=4a1+12，

　　由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12)，解得a1=1，

　　所以an=2n-1.

　　(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1

　　=(-1)n-1(+).

　　當(dāng)n為偶數(shù)時，

　　Tn=(1+)-(+)+…+(+)-(+)=1-=.

　　當(dāng)n為奇數(shù)時，

　　Tn=(1+)-(+)+…-(+)+(+)=1+=.

　　所以Tn=

　　(或Tn=)