11.已知函數(shù)f(n)=n2cos(nπ)，且an=f(n)+f(n+1)，則a1+a2+a3+…+a100等于(　　)

A.0B.-100

C.100D.10200

答案　B

解析　∵f(n)=n2cos(nπ)

==(-1)n·n2，

∴由an=f(n)+f(n+1)=(-1)n·n2+(-1)n+1·(n+1)2=(-1)n[n2-(n+1)2]=(-1)n+1·(2n+1)，

得a1+a2+a3+…+a100=3+(-5)+7+(-9)+…+199+(-201)=50×(-2)=-100.故選B.

12.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)之積為T(mén)n，并且滿(mǎn)足條件：a1>1，a2015a2016>1，<0.給出下列結(jié)論：

①00;③T2016的值是Tn中最大的;④使Tn>1成立的最大自然數(shù)等于4030.其中正確的結(jié)論為(　　)

A.①③B.②③

C.①④D.②④

答案　C

解析　由<0可知：a2015<1或a2016<1.

如果a2015<1，那么a2016>1，若a2015<0，則q<0;

又因?yàn)閍2016=a1q2015，所以a2016應(yīng)與a1異號(hào)，

即a2016<0，這與假設(shè)矛盾，所以q>0.

若q≥1，則a2015>1且a2016>1，與推出的結(jié)論矛盾，所以01，a2016<1，所以數(shù)列從第2016項(xiàng)開(kāi)始小于1，所以T2015最大.故③錯(cuò)誤.

由結(jié)論①可知數(shù)列從第2016項(xiàng)開(kāi)始小于1，而Tn=a1a2a3…an，

T4031=a1·a2·…·a4031=(a1·a4031)·(a2·a4030)·…·(a2015·a2017)·a2016<1，

所以Tn>1對(duì)應(yīng)的最大自然數(shù)為4030，故④正確.

13.已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和.若a1，a3是方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根，則S6=________.

答案　63

解析　解方程x2-5x+4=0，得x1=1，x2=4.

因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，且a1，a3是方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根，所以a1=1，a3=4.

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q2===4，

所以q=2.則S6===63.

14.某慢性疾病患者，因病到醫(yī)院就醫(yī)，醫(yī)生給他開(kāi)了處方藥(片劑)，要求此患者每天早、晚間隔12小時(shí)各服一次藥，每次一片，每片200毫克.假設(shè)該患者的腎臟每12小時(shí)從體內(nèi)大約排出這種藥在其體內(nèi)殘留量的50%，并且醫(yī)生認(rèn)為這種藥在體內(nèi)的殘留量不超過(guò)400毫克時(shí)無(wú)明顯副作用.若該患者第一天上午8點(diǎn)第一次服藥，則第二天上午8點(diǎn)服完藥時(shí)，藥在其體內(nèi)的殘留量是________毫克.若該患者堅(jiān)持長(zhǎng)期服用此藥，則________明顯副作用(此空填“有”或“無(wú)”).

答案　350　無(wú)

解析　設(shè)該病人第n次服藥后，藥在體內(nèi)的殘留量為an毫克，

所以a1=200，a2=200+a1(1-50%)=300，

a3=200+a2(1-50%)=350.

由an=200+0.5an-1 (n≥2)，

得an-400=0.5(an-1-400) (n≥2)，

所以{an-400}是一個(gè)等比數(shù)列，

所以an-400=-200×0.5n-1<0，∴an<400.

所以若該患者堅(jiān)持長(zhǎng)期服用此藥無(wú)明顯副作用.

15.若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，且++…+=n2+3n，則++…+=________.

答案　2n2+6n

解析　記Tn=++…+，

∴=Tn-Tn-1=n2+3n-[(n-1)2+3(n-1)]

=2(n+1)，

∴an=4(n+1)2 (n≥2).

令n=1，∴=4a1=16，∴an=4(n+1)2，

∴=4(n+1).

∴++…+=4(2+3+…+n+1)

=4··n=2n2+6n.

16.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=+，a1=，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意的n∈N*，不等式≥2n-3恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______.

答案　k≥

解析　an+1=Aan+Ban+1-=A(an-)，

因此an+1-=(an-)，

故{an-}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列.

因此2Sn-n=12(1-)，

故不等式可化簡(jiǎn)為k≥.

因此令函數(shù)f(n)=，

令f′(n)==0，

解得2n=+3，正整數(shù)n可取2或3，

f(2)=，f(3)=.

所以k≥.