二、填空題

7.在等差數(shù)列{an}中，a2=5，a1+a4=12，則an=________;設(shè)bn=(nN*)，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=________.

答案：2n+1　　命題立意：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與裂項(xiàng)相消法，難度中等.

解題思路：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則有a2+a3=5+a3=12，a3=7，d=a3-a2=2，an=a2+(n-2)d=2n+1，bn==，因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=×

==.

8.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”，若數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為2，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，則d=________.

答案：4　解題思路：由題意可知，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn=，前2n項(xiàng)和為S2n=，所以==2+=2+，所以當(dāng)d=4時(shí)，=4.

9.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且滿足f=f(x)，f(-2)=-3，數(shù)列{an}滿足a1=-1，且Sn=2an+n(其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和)，則f(a5)+f(a6)=______.

答案：3　解題思路：因?yàn)镾n=2an+n，則Sn-1=2an-1+n-1，

兩式相減得an=2an-1-1，通過(guò)拼湊整理得an-1=2(an-1-1)，所以{an-1}是等比數(shù)列，則an-1=-2n，因此an=1-2n，所以a5=-31，a6=-63.

由f=f(x)且函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，用-x代替x得到f=f(-x)=-f(x)，用+x代替x得到f(3+x)=f(x)，所以函數(shù)f(x)為周期為3，

則f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=f(2)+0=-f(-2)=3.

10.已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成遞減的等差數(shù)列.若A=2C，則的值為_(kāi)_______.

答案：　命題立意：本題主要考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理與三角函數(shù)基本公式.解題思路是依據(jù)題意得出a，b，c之間的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理、余弦定理及A=2C，從而得出a，c之間的關(guān)系.

解題思路：依題意知b=，===2cos C=2×，即====，所以a2=c，即(2a-3c)(a-c)=0，又由a>c，因此有2a=3c，故=.

三、解答題

11.已知函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù)，數(shù)列{an}滿足an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an>1.

(1)設(shè)bn=log2(an-1)，求證：數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列;

(2)設(shè)cn=nbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.

命題立意：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式等知識(shí).解題時(shí)，首先根據(jù)二次函數(shù)的奇偶性求出b值，確定數(shù)列通項(xiàng)的遞推關(guān)系式，然后由等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列，這樣就求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步就會(huì)求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，從而確定數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算方法.

解析：(1)證明： 函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù)，

b=0， f(x)=x2，

an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1，

an+1-1=2(an-1)2.

又a1=3，an>1，bn=log2(an-1)，

b1=log2(a1-1)=1，

====2，

數(shù)列{bn+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1，

cn=nbn=n2n-n.

設(shè)An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，

則2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，

-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1

=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2，

An=(n-1)2n+1+2.

設(shè)Bn=1+2+3+4+…+n，則Bn=，

Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.12.函數(shù)f(x)對(duì)任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.

(1)求f的值;

(2)數(shù)列{an}滿足：an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，求an;

(3)令bn=，Tn=b+b+…+b，Sn=8-，試比較Tn與Sn的大小.

解析：(1)令x=，

則有f+f=f+f=1.

f=.

(2)令x=，得f+f=1，

即f+f=1.

an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，

an=f(1)+f+f+…+f+f(0).

兩式相加，得

2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1，

an=，nN*.

(3)bn==，

當(dāng)n=1時(shí)，Tn=Sn;

當(dāng)n≥2時(shí)，

Tn=b+b+…+b

=4

<4

=4

=4=8-=Sn.

綜上，Tn≤Sn.