1.已知m，n為直線，α，β為平面，給出下列命題：

①若m⊥α，m⊥n，則n∥α;

②若m⊥β，n⊥β，則m∥n;

③若m⊥α，m⊥β，則α∥β;

④若mα，nβ，α∥β，則n∥m;

⑤若α⊥β，α∩β=m，nα，m⊥n，則n⊥β.

其中正確的命題是________.(填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào))

答案�、冖邰�

解析　命題①，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或nα，故不正確;命題②，若m⊥β，n⊥β，則m∥n，由線面垂直的性質(zhì)定理易知正確;命題③，由線面垂直的性質(zhì)定理易知正確;命題④，若mα，nβ，α∥β，則n∥m或m、n異面，所以不正確;命題⑤是面面垂直的性質(zhì)定理，所以是正確命題.故答案為②③⑤.

2.在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(4,1,9)，B(10，-1,6)，C(x，4,3)為頂點(diǎn)的△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)_______.

答案　2

解析　由題意得=(6，-2，-3)，=(x-4,3，-6)，

·=(6，-2，-3)·(x-4,3，-6)

=6(x-4)-6+18=0，

解得x=2.

3.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為_(kāi)_______.

答案　60°

解析　由中點(diǎn)M，N可知MN∥AD1，由△D1AC是正三角形可知∠D1AC=60°，所以異面直線AC和MN所成的角為60°.

4.在三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，則該三棱錐的體積為_(kāi)_______.

答案

解析　如圖，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB=S，

∴SC⊥平面SAB，

在Rt△BSC中，由SB=2，BC=3，得SC=.

在△SAB中，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD，則SD⊥AB，且BD=，

∴SD= =，∴V=××3××=.

5.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說(shuō)法正確的是________.

①若m∥α，n∥α，則m∥n;

②若m⊥α，nα，則m⊥n;

③若m⊥α，m⊥n，則n∥α;

④若m∥α，m⊥n，則n⊥α.

答案�、�

6.已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB=1，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積等于________.

答案

解析　由題意得三棱柱底面為正三角形，設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為h，則h··12=h=4，因?yàn)榍蛐臑樯舷碌酌嬷行倪B線的中點(diǎn)，所以R2=22+()2=，因此球的表面積等于4πR2=4π·=π.

7.已知長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面AB′D′平行的有________條.

答案　6

解析　如圖，連結(jié)EG，EH，F(xiàn)G，∵EH綊FG，

∴EFGH四點(diǎn)共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH=E，AB′∩AD′=A，可得平面EFGH與平面AB′D′平行，∴符合條件的共有6條.