8.(2016·蘭州高三實(shí)戰(zhàn)模擬)α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個(gè)條件，就能得出BD⊥EF，現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β;②AC與α，β所成的角相等;③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上;④AC∥EF.

其中能成為增加條件的序號(hào)是________.

答案�、佗�

解析　由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面.

①中，∵AC⊥β，EFβ，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EFα，

∴AB⊥EF，∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，

又∵BD平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正確;

②中，由①可知，若BD⊥EF成立，

則有EF⊥平面ABCD，則有EF⊥AC成立，

而AC與α，β所成角相等是無法得到EF⊥AC的，故②錯(cuò)誤;

③中，由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上，

可知EF⊥AC，由①可知③正確;

④中，仿照②的分析過程可知④錯(cuò)誤，

故填①③.

9.如圖，ABCD—A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論中：

①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④異面直線AD與CB1所成角為60°.

錯(cuò)誤的有________.(把你認(rèn)為錯(cuò)誤的序號(hào)全部寫上)

答案�、�

解析�、貰D∥B1D1，利用線面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1;

②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD;

③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1;

④異面直線AD與CB1所成角為45°，錯(cuò)誤.

10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)(含正方體表面)任取一點(diǎn)M，則·≥1的概率p=________.

答案

解析　可解得||cos θ≥，也即在上的投影大于或等于.由幾何概型的求法知，p==.

11.如圖所示，在邊長為5+的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個(gè)扇形，以O(shè)為圓心畫一個(gè)圓，M，N，K為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的全面積S=________.

答案　10π

解析　設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，由已知條件得

解得r=，l=4，S=πrl+πr2=10π.

12.在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點(diǎn)N在線段PB上，且PN=.

(1)求證：BD⊥PC;

(2)求證：MN∥平面PDC;

(3)求二面角A—PC—B的余弦值.

(1)證明　因?yàn)椤鰽BC是正三角形，M是AC中點(diǎn)，

所以BM⊥AC，即BD⊥AC，

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

PA⊥BD，又PA∩AC=A，

所以BD⊥平面PAC，

又PC平面PAC，所以BD⊥PC.

(2)證明　在正三角形ABC中，BM=2，

在△ACD中，因?yàn)镸為AC中點(diǎn)，DM⊥AC，

所以AD=CD，又∠CDA=120°，所以DM=，

所以BM∶MD=3∶1，在等腰直角三角形PAB中，

PA=AB=4，PB=4，所以BN∶NP=3∶1，

BN∶NP=BM∶MD，所以MN∥PD，

又MN平面PDC，PD平面PDC，

所以MN∥平面PDC.

(3)解　因?yàn)椤螧AD=∠BAC+∠CAD=90°，

所以AB⊥AD，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以B(4,0,0)，C(2，2，0)，D(0，，0)，P(0,0,4).

由(1)可知，=(4，-，0)為平面PAC的一個(gè)法向量，

=(2,2，-4)，=(4,0，-4)，

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，

則　即

令z=3，則平面PBC的一個(gè)法向量為n=(3，，3)，

設(shè)二面角A—PC—B的大小為θ，

則cos θ==.

所以二面角A—PC—B的余弦值為.