一、選擇題

　　1.(文)曲線y=xex+2x-1在點(diǎn)(0，-1)處的切線方程為(　　)

　　A.y=3x-1　　　 B.y=-3x-1

　　C.y=3x+1 D.y=-2x-1

　　[答案]　A

　　[解析]　k=y′|x=0=(ex+xex+2)|x=0=3，

　　切線方程為y=3x-1，故選A.

　　(理)(2014·吉林市質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)=2sinx(x[0，π])在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g(x)=2·(+1)在點(diǎn)Q處的切線，則直線PQ的斜率(　　)

　　A.1　　　　　　　　　　B.

　　C. D. 2

　　[答案]　C

　　[解析]　f′(x)=2cosx，x[0，π]，f′(x)∈[-2,2]，g′(x)=+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，

　　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則由題意知，2cosx1=+，2cosx1=2且+=2，x1∈[0，π]，

　　x1=0，y1=0，x2=1，y2=，kPQ==.

　　[方法點(diǎn)撥]　1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

　　函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k=f ′(x0).

　　2.求曲線y=f(x)的切線方程的類型及方法

　　(1)已知切點(diǎn)P(x0，y0)，求y=f(x)過(guò)點(diǎn)P的切線方程：

　　求出切線的斜率f ′(x0)，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程;

　　(2)已知切線的斜率為k，求y=f(x)的切線方程：

　　設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，通過(guò)方程k=f ′(x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程;

　　(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求y=f(x)的切線方程：

　　設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫(xiě)出方程.

　　3.若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時(shí)，先由平行或垂直關(guān)系確定切線的斜率，再由k=f′ (x0)求出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)，最后寫(xiě)出切線方程.

　　4.(1)在點(diǎn)P處的切線即是以P為切點(diǎn)的切線，P一定在曲線上.

　　(2)過(guò)點(diǎn)Q的切線即切線過(guò)點(diǎn)Q，Q不一定是切點(diǎn)，所以本題的易錯(cuò)點(diǎn)是把點(diǎn)Q作為切點(diǎn).因此在求過(guò)點(diǎn)P的切線方程時(shí)，應(yīng)首先檢驗(yàn)點(diǎn)P是否在已知曲線上.

　　2.已知f(x)為定義在(-∞，+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)e·f(0)，f(2012)>e2012·f(0)

　　B.f(1)e2012·f(0)

　　C.f(1)>e·f(0)，f(2012)0，即F(x)在xR上為增函數(shù)，

　　F(1)>F(0)，F(xiàn)(2012)>F(0)，

　　即>，>，

　　f(1)>ef(0)，

　　f(2012)>e2012f(0).

　　[方法點(diǎn)撥]　1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

　　在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f ′(x)>0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增.如果f ′(x)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減.

　　2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟.

　　(1)找出函數(shù)f(x)的定義域;

　　(2)求f ′(x);

　　(3)在定義域內(nèi)解不等式f ′(x)>0，f ′(x)<0.

　　3.求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0.

　　4.若已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍，只需轉(zhuǎn)化為不等式f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間內(nèi)恒成立的問(wèn)題求解，解題過(guò)程中要注意分類討論;函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題以及一些相關(guān)的逆向問(wèn)題，都離不開(kāi)分類討論思想.

　　3.(2015·新課標(biāo)理，12)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(　　)

　　A.(-∞，-1)(0,1) B.(-1,0)(1，+∞)

　　C.(-∞，-1)(-1,0) D.(0,1)(1，+∞)

　　[答案]　A

　　[解析]　考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

　　記函數(shù)g(x)=，則g′(x)=，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，xf′(x)-f(x)<0，故當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減;又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，且g(-1)=g(1)=0.當(dāng)00，則f(x)>0;當(dāng)x<-1時(shí)，g(x)<0，則f(x)>0，綜上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞，-1)(0,1)，故選A.

　　[方法點(diǎn)撥]　1.在研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象，方程與不等式的解，不等式的證明等問(wèn)題中，根據(jù)解題的需要可以構(gòu)造新的函數(shù)g(x)，通過(guò)研究g(x)的性質(zhì)(如單調(diào)性、極值等)來(lái)解決原問(wèn)題是常用的方法.如在討論f ′(x)的符號(hào)時(shí)，若f ′(x)的一部分為h(x)，f ′(x)的符號(hào)由h(x)所決定，則可轉(zhuǎn)化為研究h(x)的極(最)值來(lái)解決，證明f(x)>g(x)時(shí)，可構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，轉(zhuǎn)化為h(x)的最小值問(wèn)題等等.

　　2.應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題，是多元問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，常見(jiàn)的解題思路有以下兩種：

　　(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立、方程求解等轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(或值域)，然后求解.

　　(2)換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次不等式、二次不等式或二次方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)加以解決.

　　3.有關(guān)二次方程根的分布問(wèn)題一般通過(guò)兩類方法解決：一是根與系數(shù)的關(guān)系與判別式，二是結(jié)合函數(shù)值的符號(hào)(或大小)、對(duì)稱軸、判別式用數(shù)形結(jié)合法處理.

　　4.和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)

　　函數(shù)y=f(x)，當(dāng)y>0時(shí)轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0.

　　數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù).

　　直線與二次曲線位置關(guān)系問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問(wèn)題.

　　立體幾何中有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，有時(shí)可借助面積、體積公式轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)最值求解.

　　5.注意方程(或不等式)有解與恒成立的區(qū)別.

　　6.含兩個(gè)未知數(shù)的不等式(函數(shù))問(wèn)題的常見(jiàn)題型及具體轉(zhuǎn)化策略：

　　(1)x1∈[a，b]，x2[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最大值.

　　(2)x1∈[a，b]，x2[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最小值.

　　(3)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最小值.

　　(4)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最大值.

　　(5)x1∈[a，b]，當(dāng)x2[c，d]時(shí)，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域與g(x)在[c，d]上的值域交集非空.

　　(6)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.

　　(7)x2∈[c，d]，x1∈[a，b]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.

　　4.(文)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f ′(x)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的圖象是(　　)

　　[答案]　B

　　[解析]　本題考查原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

　　由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，y=f(x)在[-1,0]上每一點(diǎn)處的切線斜率逐漸變大，而在[0,1]上則逐漸變小，故選B.

　　(理)(2014·石家莊市質(zhì)檢)定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))為頂點(diǎn)的ABC的面積記為函數(shù)S(x)，則函數(shù)S(x)的導(dǎo)函數(shù)S′(x)的大致圖象為(　　)

　　[答案]　D

　　[解析]　A、B為定點(diǎn)，|AB|為定值，ABC的面積S(x)隨點(diǎn)C到直線AB的距離d而變化，而d隨x的變化情況為增大→減小→0→增大→減小，ABC的面積先增大再減小，當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，構(gòu)不成三角形;然后ABC的面積再逐漸增大，最后再逐漸減小，觀察圖象可知，選D.

　　[方法點(diǎn)撥]　1.由導(dǎo)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，應(yīng)注意導(dǎo)函數(shù)圖象位于x軸上方的部分對(duì)應(yīng)f(x)的增區(qū)間，下方部分對(duì)應(yīng)f(x)的減區(qū)間，與x軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)可能的極值點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性決定函數(shù)f(x)增長(zhǎng)的速度;

　　2.由函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)注意觀察函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)，它們依次對(duì)應(yīng)f′(x)的正負(fù)值區(qū)間和零點(diǎn)，圖象上開(kāi)或下降的快慢決定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.

　　5.已知常數(shù)a、b、c都是實(shí)數(shù)，f(x)=ax3+bx2+cx-34的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)≤0的解集為{x|-2≤x≤3}，若f(x)的極小值等于-115，則a的值是(　　)

　　A.- B.

　　C.2 D.5

　　[答案]　C

　　[解析]　依題意得f′(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2，3]，于是有3a>0，-2+3=-，-2×3=，

　　b=-，c=-18a，函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值，于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115，-a=-81，a=2，故選C.

　　二、解答題