二、解答題

　　6.(文)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為-2.

　　(1)求a;

　　(2)證明：當(dāng)k<1時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

　　[分析]　(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可把斜率用a來表示，再由斜率公式可求出a的值;(2)把曲線與直線只有一個交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點作為本問的切入點，利用分類討論的思想和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性來判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，從而得出此函數(shù)在每個區(qū)間的單調(diào)情況，進(jìn)而求出零點個數(shù)，解決本問.

　　[解析]　(1)f′(x)=3x3-6x+a，f′(0)=a，

　　由題設(shè)得-=-2，所以a=1.

　　(2)由(1)知，f(x)=x3-3x2+x+2.

　　設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.

　　由題設(shè)知1-k>0.

　　當(dāng)x≤0時，g′(x)=3x2-6x+1-k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(-1)=k-1<0，g(0)=4，

　　所以g(x)=0在(-∞，0]上有唯一實根.

　　當(dāng)x>0時，令h(x)=x3-3x2+4，則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).

　　h′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，所以

　　g(x)>h(x)≥h(2)=0，

　　所以g(x)=0在(0，+∞)上沒有實根.

　　綜上，g(x)在R上有唯一實根，即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

　　(理)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.

　　(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;

　　(2)證明：當(dāng)x>0時，x21，轉(zhuǎn)化為證明x>2lnx+lnk成立.構(gòu)造函數(shù)h(x)=x-2lnx-lnk求解.

　　[解析]　(1)由f(x)=ex-ax，得f′(x)=ex-a.

　　又f′(0)=1-a=-1，得a=2.

　　所以f(x)=ex-2x，f′(x)=ex-2.

　　令f′(x)=0，得x=ln2.

　　當(dāng)xln2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增;

　　所以當(dāng)x=ln2時，f(x)有極小值.

　　且極小值為f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4，

　　f(x)無極大值.

　　(2)令g(x)=ex-x2，則g′(x)=ex-2x.

　　由(1)得，g′(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0，即g′(x)>0.

　　所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)=1>0，

　　所以當(dāng)x>0時，g(x)>g(0)>0，即x20時x20時，x21，要使不等式x2kx2成立，而要使ex>kx2成立，則只要x>ln(kx2)，只要x>2lnx+lnk成立，

　　令h(x)=x-2lnx-lnk，則h′(x)=1-=，所以當(dāng)x>2時，h′(x)>0，h(x)在(2，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增

　　取x0=16k>16，所以h(x)在(x0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增

　　又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k

　　易知k>lnk，k>ln2,5k>0，所以h(x0)>0.

　　即存在x0=，當(dāng)x(x0，+∞)時，恒有x20.

　　(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性;

　　(2)證明：存在a(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)有唯一解.

　　[解析]　本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

　　(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，

　　g(x)=f′(x)=2(x-1-lnx-a)，

　　所以g′(x)=2-=.

　　當(dāng)x(0,1)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

　　當(dāng)x(1，+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.

　　(2)由f′(x)=2(x-1-lnx-a)=0，解得a=x-1-lnx，

　　令Φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx，

　　則Φ(1)=1>0，Φ(e)=2(2-e)<0，

　　于是，存在x0(1，e)，使得Φ(x0)=0.

　　令a0=x0-1-lnx0=u(x0)，其中u(x)=x-1-lnx(x≥1)，

　　由u′(x)=1-≥0知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增，

　　故0=u(1)

　　即a0(0,1).

　　當(dāng)a=a0時，有f′(x0)=0，f(x0)=Φ(x0)=0

　　再由(1)知，f′(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增.

　　當(dāng)x(1，x0)時，f′(x)<0，從而f(x)>f(x0)=0;

　　當(dāng)x(x0，+∞)時，f′(x)>0，從而f(x)>f(x0)=0;

　　又當(dāng)x(0,1]時，f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0，

　　故x(0，+∞)時，f(x)≥0.

　　綜上所述，存在a(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)有唯一解.

　　(理)(2015·江蘇，19)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a，bR).

　　(1)試討論f(x)的單調(diào)性;

　　(2)若b=c-a(實數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(-∞，-3)∪，求c的值.

　　[解析]　考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點.

　　(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，通過討論導(dǎo)函數(shù)零點求解;(2)通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)關(guān)系求解.

　　(1)f′(x)=3x2+2ax，令f′(x)=0，解得x1=0，x2=-.

　　當(dāng)a=0時，因為f′(x)=3x2≥0，所以函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增;

　　當(dāng)a>0時，x∪(0，+∞)時，f′(x)>0，x(-，0)時，f′(x)<0，

　　所以函數(shù)f(x)在，(0，+∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;

　　當(dāng)a<0時，x(-∞，0)時，f′(x)>0，x時，f′(x)<0，

　　所以函數(shù)f(x)在(-∞，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

　　(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)=b，f=a3+b，則函數(shù)f(x)有三個零點等價于f(0)·f=ba3+b<0，從而或.

　　又b=c-a，所以當(dāng)a>0時，a3-a+c>0，

　　或當(dāng)a<0時，a3-a+c<0.

　　設(shè)g(a)=a3-a+c，因為函數(shù)f(x)有三個零點時，a的取值范圍恰好是(-∞，-3)∪，則在(-∞，-3)上g(a)<0，且在上g(a)>0均恒成立，

　　從而g(-3)=c-1≤0，且g=c-1≥0，因此c=1.

　　此時，f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a]，

　　因函數(shù)有三個零點，則x2+(a-1)x+1-a=0有兩個異于-1的不等實根，

　　所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0，且(-1)2-(a-1)+1-a≠0，

　　解得a(-∞，-3)1，，+∞.

　　綜上c=1.

　　[方法點撥]　用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)綜合題的一般步驟：

　　第一步，將所給問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)性質(zhì)的問題.

　　若已給出函數(shù)，直接進(jìn)入下一步.

　　第二步，確定函數(shù)的定義域.

　　第三步，求導(dǎo)數(shù)f ′(x)，解方程f ′(x)=0，確定f(x)的極值點x=x0.

　　第四步，判斷f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值，若在x=x0左側(cè)f ′(x)>0，右側(cè)f ′(x)>0，則f(x0)為極大值，反之f(x0)為極小值，若在x=x0兩側(cè)f ′(x)不變號，則x=x0不是f(x)的極值點.

　　第五步，求f(x)的最值，比較各極值點與區(qū)間端點f(a)，f(b)的大小，最大的一個為最大值、最小的一個為最小值.

　　第六步，得出問題的結(jié)論.

　　8.濟(jì)南市“兩會”召開前，某政協(xié)委員針對自己提出的“環(huán)保提案”對某處的環(huán)境狀況進(jìn)行了實地調(diào)研，據(jù)測定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為k(k>0).現(xiàn)已知相距36km的A、B兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為正數(shù)a、b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設(shè)AC=x(km).

　　(1)試將y表示為x的函數(shù);

　　(2)若a=1時，y在x=6處取得最小值，試求b的值.

　　[解析]　(1)設(shè)點C受A污染源污染指數(shù)為，點C受B污染源污染指數(shù)為，其中k為比例系數(shù)，且k>0.

　　從而點C處污染指數(shù)y=+(00，即f′(x)>0，故f(x)為增函數(shù);

　　當(dāng)x>x2時，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)為減函數(shù);

　　由f(x)在[3，+∞)上為減函數(shù)，知x2=≤3，

　　解得a≥-，

　　故a的取值范圍為.

　　[方法點撥]　1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的一般步驟

　　(1)求定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f ′(x);(3)求極值，先解方程f ′(x)=0，驗證f ′(x)在根左右兩側(cè)值的符號確定單調(diào)性，若在x=x0左側(cè)f ′(x)>0，右側(cè)f ′(x)<0，則f(x0)為極大值，反之f(x0)為極小值，若在x=x0兩側(cè)f(x)的值不變號，則x=x0不是f(x)的極值點;(4)求最值，比較各極值點與區(qū)間[a，b]的端點值f(a)、f(b)的大小，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

　　2.已知f(x)在某區(qū)間上的極值或極值的存在情況，則轉(zhuǎn)化為方程f ′(x)=0的根的大小或存在情況.