[A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]

　　一、填空題

　　1.若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且2++=0，那么=________.

　　[解析]　因?yàn)镈為BC邊的中點(diǎn)，+=2，

　　又2++=0，

　　2+2=0，即=.

　　因此=2，故=.

　　[答案]

　　2.(2014·鎮(zhèn)江質(zhì)檢)若a+c與b都是非零向量，則“a+b+c=0”是“b(a+c)”的________條件.

　　[解析]　若a+b+c=0，則b=-(a+c)，

　　b∥(a+c);

　　若b(a+c)，則b=λ(a+c)，當(dāng)λ≠-1時(shí)，a+b+c≠0.

　　因此“a+b+c=0”是“b(a+c)”的充分不必要條件.

　　[答案]　充分不必要

　　3.如果=e1+e2，=2e1-3e2，=3e1-ke2，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則k=________.

　　[解析]　=e1+e2，=2e1-3e2，

　　=+=3e1-2e2.

　　A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，

　　∥，從而存在實(shí)數(shù)λ，使得=λ.

　　3e1-2e2=3λe1-λke2，

　　又e1，e2是不共線的非零向量，

　　因此k=2.

　　[答案]　2

　　4.(2014·南京調(diào)研)在ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，=λ+μ(λ，μR)，則λμ的最大值為________.

　　[解析]　D在邊BC上，且=λ+μ，λ>0，μ>0，且λ+μ=1，λμ≤2=，當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ=時(shí)，取“=”號(hào).

　　[答案]

　　5.(2014·泰州市期末考試)在ABC中，=2，若=λ1+λ2，則λ1λ2的值為________.

　　[解析]　=+=+，而=-，所以=+，所以λ1=，λ2=，則λ1λ2=.

　　[答案]

　　6.(2014·南京市調(diào)研)如圖4­1­3所示，在ABC中，D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上的點(diǎn)，且=3，若=x+y，x，yR，則x+y的值為________.

　　圖4­1­3

　　[解析]　D為BC的中點(diǎn)，=(+)=(3+2)=+，故x=，y=1，x+y=.

　　[答案]

　　7.(2014·宿遷質(zhì)檢)若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5=+3，則ABM與ABC的面積比為________.

　　[解析]　設(shè)AB的中點(diǎn)為D，如圖所示，由5=+3得

　　3-3=2-2，即3=2.

　　故C，M，D三點(diǎn)共線，且=.

　　所以===.

　　[答案]

　　8.(2014·揚(yáng)州質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，||=4，|+|=|-|，則||=________.

　　[解析]　延長AM至點(diǎn)D，連結(jié)BD、CD，則ABDC為平行四邊形，+=，-=，|+|=|-|，||=||=4，

　　∴||=||=2.

　　[答案]　2

　　二、解答題

　　9.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.

　　(1)若=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，

　　求證：A，B，D三點(diǎn)共線;

　　(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka+b和a+kb共線.

　　[解]　(1)=a+b，=2a+8b，=3(a-b).

　　=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.

　　，共線，

　　又它們有公共點(diǎn)B，

　　A，B，D三點(diǎn)共線.

　　(2)假設(shè)ka+b與a+kb共線，

　　則存在實(shí)數(shù)λ，使ka+b=λ(a+kb)，即(k-λ)a=(λk-1)b.

　　又a，b是兩不共線的非零向量，

　　k-λ=λk-1=0.

　　k2-1=0，k=±1.

　　10.在ABC中，=，DEBC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設(shè)=a，=b，用a、b表示向量、、、、、.

　　圖4­1­4

　　[解]　==b.

　　=-=b-a.

　　由ADE∽△ABC，得==(b-a).

　　又AM是ABC的中線，DEBC，

　　得==(b-a).

　　又=(+)=(a+b).

　　==(a+b).