[A級　基礎(chǔ)達標(biāo)練]

　　一、填空題

　　1.在ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則·=________.

　　[解析]　如圖所示，=+，=+=-，

　　·=(+)·(-)

　　=2-2=||2-||2=9-25=-16.

　　[答案]　-16

　　2.已知非零向量a，b滿足|a|=|a+b|=1，a與b的夾角為120°，則b的模為________.

　　[解析]　由|a+b|=1得|a|2+2a·b+|b|2=1.設(shè)|b|=x(x>0).由|a|=1及〈a，b〉=120°得1+2·1·x·cos 120°+x2=1，解得x=1(x=0舍去)，故|b|=1.

　　[答案]　1

　　3.在RtABC中，C=，AC=3，取點D，使=2，則·=________.

　　[解析]　 如圖所示，=+，

　　又=2=，

　　=+=+(-)，

　　因此=+，

　　由C=，知·=0，且AC=3，

　　則·=·

　　=+·=6.

　　[答案]　6

　　4.已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，則a與b的夾角為________.

　　[解析]　向量a、b滿足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，

　　設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ==，θ=.

　　[答案]

　　5.若向量a，b，c滿足a∥b，且b·c=0，則(2a+b)·c=________.

　　[解析]　a∥b，b=λa.

　　又b·c=0，a·c=0，

　　(2a+b)·c=2a·c+b·c=0.

　　[答案]　0

　　6.(2014·蘇州市調(diào)研)已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c=ta+(1-t)b，若b·c=0，則實數(shù)t的值為________.

　　[解析]　由b·c=0，得ta·b+(1-t)b2=0t·1·1·cos 60°+(1-t)·12=0t=2.

　　[答案]　2

　　7.(2014·興化月考)若向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，且a，b的夾角為，則|a+b|=________.

　　[解析]　a·b=|a||b|cos=1，|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2+4=7，所以|a+b|=.

　　[答案]

　　8.(2014·揚州月考)已知|a|=1，|b|=2，a與b的夾角為120°，a+b+c=0，則a與c的夾角為________.

　　[解析]　易知c=-(a+b)，因此a·c=-a·(a+b)=-a2-a·b，而根據(jù)已知，這是可求的，而且其結(jié)果是0，故a⊥c，夾角為90°.

　　[答案]　90°

　　二、解答題

　　9.(2014·啟東中學(xué)期中檢測)已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a=(1,2).

　　(1)若|c|=2，且c∥a，求c的坐標(biāo);

　　(2)若|b|=，且a+2b與2a-b垂直，求a與b的夾角.

　　[解]　(1)設(shè)c=(x，y)，由c∥a及|c|=2得

　　或

　　所以c=(2,4)或c=(-2，-4).

　　(2)a+2b與2a-b垂直，(a+2b)·(2a-b)=0，

　　即2a2+3a·b-2b2=0，a·b=-，

　　cos θ==-1，θ∈[0，π]，θ=π.

　　10.已知|a|=4，|b|=3，(2a-2b)·(2a+b)=61，

　　(1)求a與b的夾角θ;

　　(2)求|a+b|;

　　(3)若=a，=b，求ABC的面積.

　　[解]　(1)(2a-3b)·(2a+b)=61，

　　4|a|2-4a·b-3|b|2=61.

　　又|a|=4，|b|=3，64-4a·b-27=61，

　　a·b=-6.

　　cos θ===-.

　　又0≤θ≤π，θ=.

　　(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2

　　=42+2×(-6)+32=13，

　　|a+b|=.

　　(3)與的夾角θ=，ABC=π-=.

　　又||=|a|=4，||=|b|=3，

　　S△ABC=||||sinABC=×4×3×=3.