[A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]

　　一、填空題

　　1.給出下列四個(gè)命題：

　　(1)若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直;

　　(2)若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直;

　　(3)若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在直線;

　　(4)若直線垂直于梯形兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在直線.

　　其中正確的命題共有________個(gè).

　　[解析]　(1)中沒(méi)有指明是兩條相交直線，故錯(cuò);(2)能根據(jù)平面的垂線定義知正確;(3)中梯形的兩腰所在直線必相交，故正確;(4)中梯形兩底邊所在的直線為平行直線，故錯(cuò).

　　[答案]　2

　　2.(2013·廣東高考改編)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是______(填序號(hào)).

　　若αβ，mα，nβ，則mn;

　　若αβ，mα，nβ，則mn;

　　若mn，mα，nβ，則αβ;

　　若mα，mn，nβ，則αβ.

　　[解析]　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，平面BCC1B1平面ABCD，BC1平面BCC1B1，BC平面ABCD，而B(niǎo)C1不垂直于BC，故錯(cuò)誤.

　　平面A1B1C1D1平面ABCD，B1D1平面A1B1C1D1，AC平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故錯(cuò)誤.

　　ABA1D1，AB平面ABCD，A1D1平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1平面ABCD，故錯(cuò)誤.由線面垂直性質(zhì)及面面垂直的判定，正確.

　　[答案]

　　3.PA垂直于正方形ABCD所在平面，連結(jié)PB，PC，PD，AC，BD，則一定互相垂直的平面是________.(填寫正確命題的序號(hào))

　　平面PAB平面PBC;平面PAB平面PAD;

　　平面PAB平面PCD;平面PAB平面PAC.

　　[解析]　BC⊥平面PAB，平面PBC平面PAB，

　　正確，同理AD平面PAB，

　　平面PAD平面PAB，正確.

　　[答案]

　　4.(2014·遼寧高考)已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面.下列說(shuō)法正確的是________(填序號(hào))

　　若mα，nα，則mn;

　　若mα，nα，則mn;

　　若mα，mn，則nα;

　　若mα，mn，則nα.

　　[解析]　中m和n可以平行，相交異面，故錯(cuò);中由線面垂直的性質(zhì)知正確;中，n可以在平面內(nèi)，故錯(cuò);中，n可以和這個(gè)平面平行，相交，也可以在平面內(nèi)，故錯(cuò).

　　[答案]

　　5.(2013·浙江高考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是________(填序號(hào))

　　若mα，nα，則mn;

　　若mα，mβ，則αβ;

　　若mα，mα，則nα;

　　若mα，αβ，則mβ.

　　[解析]　中的m，n可以相交也可異面故錯(cuò);中α和β可以相交故錯(cuò);中的m與β可以平行，相交，也可在β內(nèi)，故錯(cuò).

　　[答案]

　　6.P為ABC所在平面外一點(diǎn)，AC=a，PAB，PBC都是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，則平面ABC和平面PAC的位置關(guān)系為_(kāi)_______.

　　[解析]　如圖所示，PA=PB=PC=AB=BC=a，

　　取AC中點(diǎn)D，連結(jié)PD、BD，

　　則PDAC，BDAC.

　　又AC=a，PD=BD=a，

　　在PBD中，PB2=BD2+PD2，

　　PDB=90°，PD⊥BD，PD⊥平面ABC.

　　又PD平面PAC，

　　平面PAC平面ABC.

　　[答案]　垂直

　　圖7­4­10

　　7.如圖7­4­10所示，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可).

　　[解析]　由定理可知，BDPC.

　　∴當(dāng)DMPC時(shí)，即有PC平面MBD，

　　而PC平面PCD.

　　平面MBD平面PCD.

　　[答案]　DMPC(答案不唯一)

　　8.如圖7­4­11，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)CE，則CE與底面BCD所成角的正弦值為_(kāi)_______.

　　圖7­4­11

　　[解析]　分別過(guò)點(diǎn)A，E作AO平面BCD，EH平面BCD，由題意知，O、H、D共線，連結(jié)CH，則ECH即為CE與底面BCD所成的角，OD=a×=a，AO==a，EH=AO=a，CE=a，

　　所以sinECH==.

　　[答案]

　　二、解答題

　　9.如圖7­4­12，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)在AC1上，且AC1=4AF.

　　圖7­4­12

　　(1)求證：平面ADF平面BCC1B1;

　　(2)求證：EF平面ABB1A1.

　　[解]　(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1平面ABC，而AD平面ABC，所以CC1AD.

　　又AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，所以ADBC.

　　因?yàn)锽C∩CC1=C，BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，

　　又AD平面ADF，所以平面ADF平面BCC1B1.

　　(2)連結(jié)CF并延長(zhǎng)交AA1于點(diǎn)G，連結(jié)GB.

　　因?yàn)锳C1=4AF，AA1CC1，所以CF=3FG.

　　因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，

　　所以CE=3EB，所以EFGB.

　　又EF平面ABB1A1，GB平面ABB1A1，

　　所以EF平面ABB1A1.

　　10.(2014·江蘇高考)如圖7­4­13，在三棱錐P­ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5.

　　圖7­4­13

　　求證：(1)直線PA平面DEF;

　　(2)平面BDE平面ABC.

　　[證明]　(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DEPA.

　　又因?yàn)镻A平面DEF，DE平面DEF，

　　所以直線PA平面DEF.

　　(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA=6，BC=8，所以DEPA，DE=PA=3，EF=BC=4.

　　又因?yàn)镈F=5，故DF2=DE2+EF2，

　　所以DEF=90°，即DEEF.

　　又PAAC，DEPA，所以DEAC.

　　因?yàn)锳C∩EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，

　　所以DE平面ABC.

　　又DE平面BDE，

　　所以平面BDE平面ABC.