[A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]

　　一、填空題

　　1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，則這四個點________(填共面或不共面).

　　[解析]　=(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，

　　設(shè)=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3.

　　[答案]　共面

　　2.(2014·濟(jì)南調(diào)研)在下列命題中：

　　若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行;

　　若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面;

　　若三個向量a，b，c，兩兩共面，則向量a，b，c共面;

　　已知空間的三個向量a，b，c.則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x，y，z得p=xa+yb+zc.

　　其中不正確的命題是________(填序號).

　　[解析]　a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故不正確.根據(jù)平移向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故錯誤.三個向量a，b，c中任兩個一定共面，但它們?nèi)齻�卻不一定共面，故不正確.只有當(dāng)a，b，c不共面時，空間任意一向量p才能表示為p=xa+yb+zc，故不正確.

　　[答案]

　　3.已知空間四邊形OABC中，點M在線段OA上，且OM=2MA，點N為BC中點，設(shè)=a，OB=b，=c，則=________.(用a，b，c表示)

　　[解析]　=-=(+)-

　　=b+c-a.

　　[答案]　b+c-a

　　4.(2012·上海高考)若a，b，c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是________.(填序號)

　　(a+b)·c=a·c+b·c;(a+b)+c=a+(b+c);m(a+b)=ma+nb;(a·b)·c=a·(b·c).

　　[解析]　(a·b)·c=|a|·|b|cos θ·c，a·(b·c)=|b|·|c|cos α·a，a與c的模不一定相等且不一定同向，故錯.

　　[答案]　(4)

　　5.已知P，A，B，C四點共面且對于空間任一點O都有=2++λ，則λ=________.

　　[解析]　根據(jù)共面向量知P，A，B，C四點共面，則=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++λ=1，λ=-.

　　[答案]　-

　　6.若向量a=(1，λ，2)，b=(2，-1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則λ等于________.

　　[解析]　由已知得==，

　　解得λ=-2或λ=.

　　[答案]　-2或

　　7.(2014·徐州模擬)已知O點為空間直角坐標(biāo)系的原點，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且點Q在直線OP上運(yùn)動，當(dāng)·取得最小值時，的坐標(biāo)是________.

　　[解析]　點Q在直線OP上，設(shè)點Q(λ，λ，2λ)，

　　則=(1-λ，2-λ，3-2λ)，=(2-λ，1-λ，2-2λ)，

　　·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=62-.

　　當(dāng)λ=時，·取得最小值-.

　　此時=.

　　[答案]

　　圖7­5­6

　　8.如圖7­5­6所示，已知空間四邊形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，則cos〈，〉的值為________.

　　[解析]　設(shè)=a，=b，=c，

　　由已知條件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，

　　·=a·(c-b)=a·c-a·b

　　=|a||c|-|a||b|=0，即〈·〉=，

　　所以cos〈，〉=0.

　　[答案]　0

　　二、解答題

　　9.已知空間三點A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，

　　(1)求以，為邊的平行四邊形的面積;

　　(2)若|a|=，且a分別與，垂直，求a的坐標(biāo).

　　[解]　(1)由題意可得：=(-2，-1,3)，=(1，-3,2)，

　　cos〈，〉===，

　　sin〈，〉=，

　　以，為邊的平行四邊形的面積為

　　S=2×||·||·sin〈，〉=14×=7.

　　(2)設(shè)a=(x，y，z)，由題意得

　　解得或

　　向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(-1，-1，-1).

　　圖7­5­7

　　10.(2014·張家港調(diào)研)如圖7­5­7，在棱長為a的正方體ABCD­A1B1C1D1中，G為BC1D的重心，

　　(1)試證：A1，G，C三點共線;

　　(2)試證：A1C平面BC1D.

　　[證明]　(1)=++=++，

　　可以證明：=(++)=，

　　∥，即A1，G，C三點共線.

　　(2)設(shè)=a，CD=b，=c，則|a|=|b|=|c|=a，

　　且a·b=b·c=c·a=0，

　　=a+b+c，=c-a，

　　·=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0，

　　因此，即CA1BC1，

　　同理CA1BD，

　　又BD∩BC1=B，

　　A1C⊥平面BC1D.