題型一　拋物線的定義及其應用

　　例1　設P是拋物線y2=4x上的一動點，

　　(1)求點P到A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值;

　　(2)若B(3,2)，拋物線的焦點為F，求PB+PF的最小值.

　　破題切入點　畫出圖形，結(jié)合拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為共線問題.

　　解　(1)由于A(-1,1)，F(xiàn)(1,0)，P是拋物線上的任意一點，則AP+PF≥AF==，從而知點P到A(-1，1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點P到A(-1,1)的距離與P到直線x=-1的距離之和的最小值也為.

　　(2)

　　如圖所示，自點B作BQ垂直于拋物線的準線于點Q，交拋物線于點P1，此時P1Q=P1F，那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4，即PB+PF的最小值為4.

　　題型二　拋物線的標準方程及性質(zhì)

　　例2　(1)設M(x0，y0)為拋物線C：x2=8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、FM為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是________.

　　(2)如圖所示是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m.水位下降1 m后，水面寬________ m.

　　破題切入點　準確求出拋物線方程并結(jié)合其簡單幾何性質(zhì)作答.

　　答案　(1)(2，+∞)　(2)2

　　解析　(1)∵x2=8y，∴焦點F的坐標為(0,2)，準線方程為y=-2.由拋物線的定義知FM=y0+2.

　　以F為圓心、FM為半徑的圓的標準方程為x2+(y-2)2=(y0+2)2.

　　由于以F為圓心、FM為半徑的圓與準線相交，

　　又圓心F到準線的距離為4，故42.

　　(2)建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為x2=-2py(p>0)，

　　則A(2，-2)，將其坐標代入x2=-2py得p=1.

　　∴x2=-2y.

　　水位下降1 m，得D(x0，-3)(x0>0)，

　　將其坐標代入x2=-2y，得x=6，

　　∴x0=.∴水面寬CD=2 m.

　　題型三　直線和拋物線的位置關系

　　例3　已知拋物線C：y2=2px(p>0)過點A(1，-2).

　　(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程;

　　(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于?若存在，求直線l的方程;若不存在，請說明理由.

　　破題切入點　(1)將點代入易求方程.

　　(2)假設存在，根據(jù)條件求出，注意驗證.

　　解　(1)將(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，

　　所以p=2.

　　故所求的拋物線C的方程為y2=4x，

　　其準線方程為x=-1.

　　(2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t.

　　由得y2+2y-2t=0.

　　因為直線l與拋物線C有公共點，

　　所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.

　　由直線OA到l的距離d=，

　　可得=，

　　解得t=±1.

　　又因為-1[-，+∞)，1∈[-，+∞)，

　　所以符合題意的直線l存在，其方程為2x+y-1=0.

　　總結(jié)提高　(1)拋物線沒有中心，只有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸且離心率為e=1，所以與橢圓、雙曲線相比，它有許多特殊性質(zhì)，可以借助幾何知識來解決.

　　(2)拋物線的標準方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應關系，將拋物線y2=2px關于y軸、直線x+y=0與x-y=0對稱變換可以得到拋物線的其他三種形式;或者將拋物線y2=2px繞原點旋轉(zhuǎn)±90°或180°也可以得到拋物線的其他三種形式，這是它們的內(nèi)在聯(lián)系.

　　(3)拋物線的焦點弦：設過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

　�、賧1y2=-p2，x1x2=;

　�、谌糁本�AB的傾斜角為θ，則AB=;

　　③若F為拋物線焦點，則有+=.

　　1.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，-2)到焦點的距離為4，則m的值為________.

　　答案　4或-4

　　解析　設標準方程為x2=-2py(p>0)，

　　由定義知P到準線的距離為4，故+2=4，所以p=4，

　　則方程為x2=-8y，代入P點坐標得m=±4.

　　2.若拋物線y2=8x的焦點是F，準線是l，則經(jīng)過點F，M(3,3)且與l相切的圓共有________個.

　　答案　1

　　解析　由題意得F(2,0)，l：x=-2，

　　線段MF的垂直平分線方程為y-=-(x-)，

　　即x+3y-7=0，設圓的圓心坐標為(a，b)，

　　則圓心在x+3y-7=0上，故a+3b-7=0，a=7-3b，

　　由題意得|a-(-2)|=，

　　即b2=8a=8(7-3b)，即b2+24b-56=0.

　　又b>0，故此方程只有一個根，于是滿足題意的圓只有一個.

　　3.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，P、Q是拋物線上的兩個點，若△PQF是邊長為2的正三角形，則p的值是________.

　　答案　2±

　　解析　依題意得F(，0)，設P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2).由拋物線定義及PF=QF，得+=+，∴y=y，∴y1=-y2.又PQ=2，因此|y1|=|y2|=1，點P(，y1).又點P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得PF=+=2，由此解得p=2±.

　　4.(2014·課標全國Ⅱ改編)設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為________.

　　答案

　　解析　由已知得焦點坐標為F(，0)，

　　因此直線AB的方程為y=(x-)，

　　即4x-4y-3=0.

　　方法一　聯(lián)立拋物線方程化簡得4y2-12y-9=0，

　　故|yA-yB|==6.

　　因此S△OAB=OF·|yA-yB|=××6=.

　　方法二　聯(lián)立方程得x2-x+=0，

　　故xA+xB=.

　　根據(jù)拋物線的定義有AB=xA+xB+p=+

　　=12，

　　同時原點到直線AB的距離為h==，

　　因此S△OAB=AB·h=.

　　5.已知拋物線y2=8x的準線為l，點Q在圓C：x2+y2+2x-8y+13=0上，記拋物線上任意一點P到直線l的距離為d，則d+PQ的最小值為________.

　　答案　3