6.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若AF=3，則△AOB的面積為______.
答案
解析 如圖所示，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，
又AF=3，
由拋物線定義知：點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離為3，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.
將x=2代入y2=4x得y2=8，
由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y=2，
∴A(2,2)，
∴直線AF的方程為y=2(x-1).
聯(lián)立直線與拋物線的方程
解之得或由圖知B，
∴S△AOB=OF·|yA-yB|=×1×|2+|
=.
7.過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AB=，AF0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線-=1相交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p=________.
答案 6
解析 因?yàn)椤鰽BF為等邊三角形，
所以由題意知B，
代入方程-=1得p=6.
11.(2014·大綱全國(guó))已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且QF=PQ.
(1)求C的方程;
(2)過F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點(diǎn)，且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程.
解 (1)設(shè)Q(x0,4)，代入y2=2px得x0=.
所以PQ=，QF=+x0=+.
由題設(shè)得+=×，
解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程為y2=4x.
(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直，
故可設(shè)l的方程為x=my+1(m≠0).
代入y2=4x，得y2-4my-4=0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1+y2=4m，y1y2=-4.
故設(shè)AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m)，
AB=|y1-y2|=4(m2+1).
又l′的斜率為-m，
所以l′的方程為x=-y+2m2+3.
將上式代入y2=4x，
并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，
則y3+y4=-，y3y4=-4(2m2+3).
故設(shè)MN的中點(diǎn)為E(+2m2+3，-)，
MN= |y3-y4|=，
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于AE=BE=MN，
從而AB2+DE2=MN2，
即4(m2+1)2+(+2)2+(2m+)2=，
化簡(jiǎn)得m2-1=0，解得m=1或m=-1.
所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.
12.已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有·<0?若存在，求出m的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說明理由.
解 (1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿足：-x=1(x>0).
化簡(jiǎn)得y2=4x(x>0).
(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2).
設(shè)l的方程為x=ty+m，
由得y2-4ty-4m=0，
Δ=16(t2+m)>0，于是①
又=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)，·<0
(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②
又x=，于是不等式②等價(jià)于·+y1y2-+1<0+y1y2-
+1<0.③
由①式，不等式③等價(jià)于m2-6m+1<4t2.④
對(duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2-6m+1<0，即3-2 由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有·<0，且m的取值范圍是(3-2，3+2).
