題型一　直線和橢圓的位置關(guān)系

　　例1　如圖所示，橢圓C1：+=1(a>b>0)的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的短軸長(zhǎng).C2與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點(diǎn)D，E.

　　(1)求C1，C2的方程;

　　(2)求證：MA⊥MB;

　　(3)記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若=λ，求λ的取值范圍.

　　破題切入點(diǎn)　(1)利用待定系數(shù)法求解曲線C1，C2的方程.

　　(2)設(shè)出直線AB和曲線C2聯(lián)立，利用坐標(biāo)形式的向量證明.

　　(3)將S1和S2分別表示出來(lái)，利用基本不等式求最值.

　　(1)解　由題意，知=，

　　所以a2=2b2.

　　又2=2b，得b=1.

　　所以曲線C2的方程：y=x2-1，橢圓C1的方程：+y2=1.

　　(2)證明　設(shè)直線AB：y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由題意，知M(0，-1).

　　則x2-kx-1=0，

　　·=(x1，y1+1)·(x2，y2+1)

　　=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1

　　=-(1+k2)+k2+1=0，

　　所以MA⊥MB.

　　(3)解　設(shè)直線MA的方程：y=k1x-1，直線MB的方程：y=k2x-1，

　　由(2)知k1k2=-1，M(0，-1)，

　　由解得或

　　所以A(k1，k-1).

　　同理，可得B(k2，k-1).

　　故S1=MA·MB=·|k1||k2|.

　　由解得或

　　所以D(，).

　　同理，可得E(，).

　　故S2=MD·ME

　　=·，

　　=λ==≥，

　　則λ的取值范圍是[，+∞).

　　題型二　直線和雙曲線的位置關(guān)系

　　例2　已知雙曲線C：x2-y2=1及直線l：y=kx-1.

　　(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

　　(2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為，求實(shí)數(shù)k的值.

　　破題切入點(diǎn)　(1)聯(lián)立方程組，利用Δ>0求出k的取值范圍.

　　(2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

　　解　(1)雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

　　則方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

　　整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.

　　∴

　　解得-|x2|時(shí)，

　　S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)

　　=|x1-x2|;

　　當(dāng)A，B在雙曲線的兩支上且x1>x2時(shí)，

　　S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)

　　=|x1-x2|.

　　∴S△OAB=|x1-x2|=，∴(x1-x2)2=(2)2，

　　即()2+=8，解得k=0或k=±.

　　又∵-0，b>0)的上焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，B為虛軸的端點(diǎn)，離心率e=，且S△ABF=1-.拋物線N的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F.

　　(1)求雙曲線M和拋物線N的方程;

　　(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線N相切于點(diǎn)P，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，則以PQ為直徑的圓是否恒過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)?如果是，試求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　破題切入點(diǎn)　(1)根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，用a，c表示已知條件，建立方程組即可求解雙曲線的方程，然后根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出拋物線的方程.

　　(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓的性質(zhì)列出關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程恒成立的問(wèn)題來(lái)解決.

　　解　(1)在雙曲線中，c=，

　　由e=，得=，

　　解得a=b，故c=2b.

　　所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b

　　=1-，解得b=1.

　　所以a=，c=2，其上焦點(diǎn)為F(0,2).

　　所以雙曲線M的方程為-x2=1，

　　拋物線N的方程為x2=8y.

　　(2)由(1)知拋物線N的方程為y=x2，

　　故y′=x，拋物線的準(zhǔn)線為y=-2.

　　設(shè)P(x0，y0)，則x0≠0，y0=x，

　　且直線l的方程為y-x=x0(x-x0)，

　　即y=x0x-x.

　　由得

　　所以Q(，-2).

　　假設(shè)存在點(diǎn)R(0，y1)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)該點(diǎn)，

　　也就是·=0對(duì)于滿(mǎn)足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立.

　　由于=(x0，y0-y1)，=(，-2-y1)，

　　由·=0，

　　得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0，

　　整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0，

　　即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0，(*)

　　由于(*)式對(duì)滿(mǎn)足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立，

　　所以解得y1=2.

　　故以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上的定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).

　　總結(jié)提高　直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，萬(wàn)變不離其宗，構(gòu)建屬于自己的解題模板，形成一定的解題思路，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)加以解決.