1. 設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，已知當(dāng)直線l與x軸垂直時，△OMN的面積為2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

　　(1)求拋物線C的方程;

　　(2)是否存在直線l，使得以MN為對角線的正方形的第三個頂點(diǎn)恰好在y軸上，若存在，求直線l的方程;若不存在，請說明理由.

　　解　(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時，則|MN|=2p，

　　∴S△OMN=·2p·==2，即p=2.

　　∴拋物線C的方程為y2=4x.

　　(2)∵直線l與x軸垂直時，不滿足.設(shè)正方形的第三個頂點(diǎn)為P.

　　故可設(shè)直線l：y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，

　　聯(lián)立可化簡得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

　　則代入直線l可得MN的中點(diǎn)為(，)，

　　則線段MN的垂直平分線為y-=-(x-1-)，

　　故P(0，+).

　　又·=0，則x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0.

　　即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0.

　　1-4-y0·+y=0，化解得ky-4y0-3k=0，

　　由y0=+代入上式，化簡得(3k4-4)(k2+1)=0.

　　解得k=± .∴存在直線l：y=± (x-1).

　　2.(2013·廣東)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0，c)(c>0)到直線l：x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).

　　(1)求拋物線C的方程;

　　(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時，求直線AB的方程;

　　(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動時，求AF·BF的最小值.

　　解　(1)依題意知=，c>0，解得c=1.

　　所以拋物線C的方程為x2=4y.

　　(2)由y=x2得y′=x，

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　則切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，

　　所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1)，

　　即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.

　　同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0，

　　又點(diǎn)P(x0，y0)在切線PA和PB上，

　　所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

　　所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x-2y0-2y=0 的兩組解，

　　所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

　　(3)由拋物線定義知AF=y1+1，BF=y2+1，

　　所以AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1，

　　聯(lián)立方程

　　消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0，

　　∴y1+y2=x-2y0，y1y2=y，

　　∴AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1

　　=y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5

　　=22+，

　　∴當(dāng)y0=-時，AF·BF取得最小值，且最小值為.

　　3.(2013·浙江)

　　如圖，點(diǎn)P(0，-1)是橢圓C1：+=1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)，C1的長軸是圓C2：x2+y2=4的直徑.l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.

　　(1)求橢圓C1的方程;

　　(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.

　　解　(1)由題意得

　　所以橢圓C1的方程為+y2=1.

　　(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).

　　由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，

　　則直線l1的方程為y=kx-1.

　　又圓C2：x2+y2=4，

　　故點(diǎn)O到直線l1的距離d=，

　　所以AB=2=2 .

　　又l2⊥l1，故直線l2的方程為x+ky+k=0.

　　由

　　消去y，整理得(4+k2)x2+8kx=0，

　　故x0=-.所以PD=.

　　設(shè)△ABD的面積為S，

　　則S=·AB·PD=，

　　所以S=

　　≤

　　=，

　　當(dāng)且僅當(dāng)k=±時取等號.

　　所以所求直線l1的方程為y=±x-1.

　　4.已知雙曲線E：-=1(a>0，b>0)的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長為半徑的圓和直線x-y+=0相切.

　　(1)求雙曲線E的方程;

　　(2)已知點(diǎn)F為雙曲線E的左焦點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，過點(diǎn)M任意作一條直線交雙曲線E于P，Q兩點(diǎn)(P在Q點(diǎn)左側(cè))，使·為定值?若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

　　解　(1)由題意知=a，

　　∴a=.

　　又∵2c=4，∴c=2，∴b==1.

　　∴雙曲線E的方程為-y2=1.

　　(2)當(dāng)直線為y=0時，

　　則P(-，0)，Q(，0)，F(xiàn)(-2,0)，

　　∴·=(-+2,0)·(+2,0)=1.

　　當(dāng)直線不為y=0時，

　　可設(shè)l：x=ty+m(t≠±)代入E：-y2=1，

　　整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t≠±).(*)

　　由Δ>0得m2+t2>3.

　　設(shè)方程(*)的兩個根為y1，y2，

　　滿足y1+y2=-，y1y2=，

　　∴·=(ty1+m+2，y1)·(ty2+m+2，y2)

　　=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2

　　=.

　　當(dāng)且僅當(dāng)2m2+12m+15=3時，·為定值，

　　解得m1=-3-，m2=-3+(舍去).

　　綜上，過定點(diǎn)M(-3-，0)任意作一條直線交雙曲線E于P，Q兩點(diǎn)，使·=1為定值.

　　5.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，y0>0)，

　　則切線斜率為-，切線方程為y-y0=-(x-x0)，

　　即x0x+y0y=4，此時，兩個坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=··=.

　　由x+y=4≥2x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=時，x0y0有最大值，即S有最小值，

　　因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，).

　　由題意知解得

　　故C1的方程為x2-=1.

　　(2)由(1)知C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-，0)，(，0)，

　　由此設(shè)C2的方程為+=1，其中b1>0.

　　由P(，)在C2上，得+=1，

　　解得b=3，因此C2的方程為+=1.

　　顯然，l不是直線y=0.

　　設(shè)l的方程為x=my+，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由得(m2+2)y2+2my-3=0，

　　又設(shè)y1，y2是方程的根，因此

　　由x1=my1+，x2=my2+，得

　　因?yàn)?(-x1，-y1)，=(-x2，-y2)，

　　由題意知·=0，

　　所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0，⑤

　　將①②③④代入⑤整理得2m2-2m+4-11=0，

　　解得m=-1或m=-+1.

　　因此直線l的方程為x-(-1)y-=0或x+(-1)y-=0.