20.(本小題滿分12分)設(shè)橢圓C：+=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，過A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于Q點，且2+=0.

(1)求橢圓C的離心率;

(2)若過A，Q，F(xiàn)2三點的圓恰好與直線x-y-3=0相切，求橢圓C的方程;

(3)在(2)的條件下，過右焦點F2的直線交橢圓于M，N兩點，點P(4,0)，求PMN面積的最大值.

解]　(1)設(shè)Q(x0,0).F2(c,0)，A(0，b)，

=(-c，b)，=(x0，-b).

⊥，-cx0-b2=0，故x0=-.2分

又2+=0，F(xiàn)1為F2Q的中點，故-2c=-+c，即b2=3c2=a2-c2，e==.4分

(2)e==，a=2c，b=c，則F2(c,0)，Q(-3c,0)，A(0, c)，

AQF2的外接圓圓心(-c,0)，半徑r=|F2Q|=a=2c，6分

=2c，解得c=1，

a=2，b=，

橢圓C的方程為+=1.8分

(3)設(shè)直線MN：x=my+1，代入+=1，得(3m2+4)y2+6my-9=0.

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，y1+y2=-，y1y2=-，

|y1-y2|==，

S△PMN=|PF2|·|y1-y2|=，10分

令=λ≥，S△PMN== ≤=，

PMN面積的最大值為，此時m=0.12分

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax+-2a+1(a>0).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)≥ln x在1，+∞)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

(3)證明：ln>.

解]　(1)f(x)的定義域為{x|x≠0}，f′(x)=a-=(a>0)，

當(dāng)00恒成立，此時f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上是增函數(shù);

當(dāng)a≥1時，令f′(x)=0，得x1=-，x2=，2分

列表如下：

x (-∞，x1) (x1,0) (0，x2) (x2，+∞) f′(x) + - - + f(x) 增 減 減 增 此時，f(x)的遞增區(qū)間是，;遞減區(qū)間是，.4分

(2)g(x)=ax+-2a+1-ln x，x1，+∞)，

則g(1)=0，g′(x)=a--==，6分

(i)當(dāng)01，

若1

g(x)ln x.

故f(x)≥ln x在1，+∞)上不恒成立;

(ii)當(dāng)a≥時，≤1，

若x>1，則g′(x)>0，g(x)是增函數(shù)，

g(x)>g(1)=0，即f(x)>ln x.

故當(dāng)x≥1時，f(x)≥ln x.

綜上所述，所求a的取值范圍是.8分

(3)證明：在(2)中，令a=，可得不等式：ln x≤(x≥1)(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立)，

進而可得當(dāng)ln x21)(*)，

ln >ln >，10分

令x=>1(n>2)，代入不等式(*)得：

ln<-=-=，

則所證不等式成立.12分

請考生在第22～2題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

2.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，M是C1上的動點，P點滿足=2，P點的軌跡為曲線C2.

(1)求C2的參數(shù)方程;

(2)在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ=與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.

解]　(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M.由于M點在C1上，所以3分

即4分

從而C2的參數(shù)方程為

(α為參數(shù)).5分

(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin θ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=8sin θ.7分

射線θ=與C1的交點A的極徑為ρ1=4sin，

射線θ=與C2的交點B的極徑為ρ2=8sin.8分

所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.10分

2.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

(2016·貴陽高三聯(lián)考)已知a，b，cR，且a2+b2+c2=1.

(1)求證：|a+b+c|≤;

(2)若不等式|x-1|+|x+1|≥(a+b+c)2對一切實數(shù)a，b，c恒成立，求x的取值范圍.

解]　(1)證明：因為a，b，cR.

且a2+b2+c2=1.

所以(a+b+c)2

=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

≤a2+b2+c2+2

=a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)=3.3分

所以(a+b+c)2≤3，

即|a+b+c|≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時取等號.5分

(2)由(1)可知(a+b+c)2≤3，

所以不等式對一切實數(shù)a，b，c恒成立，

等價于不等式

|x-1|+|x+1|≥3，

從而解得x≥或x≤-.9分

所以x的取值范圍為.10分