參考答案

一、選擇題

1．B　解析：由數(shù)量積的坐標表示知a(→)·b(→)＝cos40°sin20°＋sin40°cos20°＝sin60°＝2(3).

2．D 【解析】y＝2sin2x－2(π)→y＝2sin2（x＋p）－2(π)＋2(π)，即y＝－2sin2x.

3．A  【解析】因為cos∠BAC＝＝＜0，∴∠BAC為鈍角.

4．B  【解析】由平行的充要條件得2(3)×3(1)－sinacosa＝0，sin2a＝1，2a＝90°，a＝45°.

5．B  【解析】a(→)·b(→)＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，p2(3))，∴|sinθ|＝－sinθ，∴a(→)·b(→)＝0，∴a(→)⊥b(→)．

6．A  【解析】→(c)＝→(a)＋l→(b)＝(6，－4＋2l)，代入y＝sin12(π)x得，－4＋2l＝sinp＝1，解得l

＝2(5).

7．B  【解析】考慮把函數(shù)y＝sin(x＋p6(5))的圖象變換為y＝cosx的圖象，而y＝sin(x＋p6(5))＝cos(x＋p)，即把y＝cos(x＋p)的圖象變換為y＝cosx的圖象，只須向右平行p個單位，所以m＝p，故選B.

8．C  【解析】||＝＝≤3.

9．D  【解析】a(→)＋b(→)＝(cosa＋cosb,sina＋sinb)，a(→)－b(→)＝(cosa＋cosb,sina－sinb)，∴(a(→)＋b(→))·(a(→)－b(→))＝cos²a－cos²b＋sin²a－sin²b＝0，∴(a(→)＋b(→))⊥(a(→)－b(→))．

10．C  【解析】|u(→)|²＝|a(→)|²＋t²|b(→)|²＋2ta(→)·b(→)＝1＋t²＋2t(sin20°cos25°＋cos20°sin25°)＝t²＋t＋1＝(t＋2(2))²＋2(1)，|u(→)|min(2 )＝2(1)，∴|u(→)|_min＝2(2).

11．C  【解析】設(shè)BC的中點為D，則AB(→)＋AC(→)＝2AD(→)，又由OP(→)＝OA(→)＋l(AB(→)＋AC(→))，AP(→)＝2lAD(→)，所以AP(→)與AD(→)共線，即有直線AP與直線AD重合，即直線AP一定通過△ABC的重心．

12．A  【解析】設(shè)a(→)＝(x,y)，x軸、y軸、z軸方向的單位向量分別為i(→)＝(1,0)，j(→)＝(0,1)，由向量知識得cosa＝i(→)a(→)i(→)a(→)|(→)＝x2＋y2(x)x2＋y2(x)，cosb＝j(→)a(→)j(→)a(→)|(→)＝x2＋y2(y)x2＋y2(y)，則cos²a＋cos²b＝1.

二、填空題

13．－49(3)  【解析】由m(→)∥n(→)，得－2(1)sinq＝2cosq,∴tanq＝－4，∴sin2q＝qqqqsin2＋cos2(2sincos)＝qqtan2＋1(2tan)＝－49(3)．

14．2(3)  【解析】OA(→)·OB(→)＝－5Þ10cosacobs＋10sinasinb＝－5Þ10cos(a－b)＝－5Þcos(a－b)＝－2(1)，∴sin∠AOB＝2(3)，又|OA(→)|＝2，|OB(→)|＝5，∴S_△AOB＝2(1)×2×5×2(3)＝2(3)．

15．（p，－1）  【解析】要經(jīng)過平移得到奇函數(shù)g(x)，應將函數(shù)f(x)＝tan(2x＋p)＋1的圖象向下平移1個單位，再向右平移－2(kπ)＋p(k∈Z)個單位．即應按照向量a(→)＝(－2(kπ)＋p，－1) (k∈Z)進行平移．要使|a|最小，

16．(－1，0)或(0，－1)  【解析】設(shè)＝(x，y)，由·＝－1，有x＋y＝－1  ①，由與夾角為4(3π)，有·＝||·||cos4(3π)，∴||＝1，則x²＋y²＝1  ②，由①②解得 ( )y=0(x=﹣1)或 ( )y＝－1(x＝0)  ∴即＝(－1，0)或＝(0，－1) ．

三、解答題

17．【解】（Ⅰ）∵AB(→)·AC(→)＝bccosA，BA(→)·BC(→)＝cacosB，

又AB(→)·AC(→)＝BA(→)·BC(→)，∴bccosA＝cacosB，

∴由正弦定理，得sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0

∵－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC為等腰三角形.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴AB(→)·AC(→)＝bccosA＝bc·2bc(b2＋c2－a2)＝2(c2)，

∵c＝，∴k＝1.

18．【解】(Ⅰ)由題意得m(→)·n(→)＝sinA－cosA＝1，2sin(A－p)＝1，sin(A－p)＝2(1)，

由A為銳角得A－p＝p，A＝p.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA＝2(1)，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin²x＋2sinx＝－2(sinx－2(1))²＋2(3)，

因為x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，當sinx＝2(1)時，f(x)有最大值2(3)．

當sinx＝－1時，f(x)有最小值－3，所以所求函數(shù)f(x)的值域是[－3，2(3)]．

19．【解】(Ⅰ)由m(→)∥n(→)，得2sin²A－1－cosA＝0，即2cos²A＋cosA－1＝0，∴cosA＝2(1)或cosA＝－1.

∵A是△ABC內(nèi)角，cosA＝－1舍去，∴A＝p.

(Ⅱ)∵b＋c＝a，由正弦定理，sinB＋sinC＝sinA＝2(3)，

∵B＋C＝p3(2)，sinB＋sin(p3(2)－B)＝2(3)，

∴2(3)cosB＋2(3)sinB＝2(3)，即sin(B＋p)＝2(3)．

20．【解】（Ⅰ）由已知得：＝，則sinα＝cosα，

因為α∈(－π，0)，∴α＝－p4(3).

（Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得

sinα＋cosα＝4(3)，平方，得sin2α＝－16(7).

而1＋tanα(2sin2α＋sin2α)＝sinα＋cosα(2sin2αcosα＋2sinαcos2α)＝2sinαcosα＝sin2α＝－16(7)．

21．【解】(Ⅰ)由m(→)⊥n(→)，得m(→)·n(→)＝0，從而(2b－c)cosA－acosC＝0，

由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0

∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，

∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝2(1)，故A＝p.

(Ⅱ)y＝2sin²B＋2sin(2B＋p)＝(1－cos2B)＋sin2Bcosp＋cos2Bsinp

＝1＋2(3)sin2B－2(1) cos2B＝1＋sin(2B－p).

由(Ⅰ)得，0＜B＜p3(2)，－p＜2B－p＜p6(7)，

∴當2B－p＝p，即B＝p時，y取最大值2.

22．【解】（Ⅰ）假設(shè)a(→)∥b(→)，則2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，

∴2cos²x＋sinxcosx＋sin²x＝0，2·2(1＋cos2x)＋2(1)sin2x＋2(1－cos2x)＝0，

即sin2x＋cos2x＝－3，

∴(sin2x＋p)＝－3，與|(sin2x＋p)|≤矛盾，

故向量a(→)與向量b(→)不可能平行．

（Ⅱ）∵f(x)＝a(→)·b(→)＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx

＝cos²x－sin²x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x

＝(2(2)cos2x＋2(2)sin2x)＝(sin2x＋p)，

∵－p≤x≤p，∴－p≤2x＋p≤p4(3)，∴當2x＋p＝p，即x＝p時，f(x)有最大值；

當2x＋p＝－p，即x＝－p時，f(x)有最小值－1．