(時(shí)間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.(2014山東青島一模)若a,b是任意實(shí)數(shù),且a>b,則下列不等式成立的是( )
A.a2>b2 B.<1
C.lg (a-b)>0 D.
2.用反證法證明命題:“若a,bN,ab可被5整除,則a,b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是( )
A.a,b都能被5整除
B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除
D.a能被5整除
3.“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)(大前提),而y=是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以函數(shù)y=是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯(cuò)誤在于( )
A.大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
B.小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
C.推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
D.大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
4.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
5.下列命題錯(cuò)誤的是( )
A.若a≥0,b≥0,則
B.若,則a≥0,b≥0
C.若a>0,b>0,且,則a≠b
D.若,且a≠b,則a>0,b>0
6.設(shè)x,y,z>0,則三個(gè)數(shù)( )
A.都大于2
B.至少有一個(gè)大于2
C.至少有一個(gè)不小于2
D.至少有一個(gè)不大于2
7.若P=,Q=(a≥0),則P,Q的大小關(guān)系( )
A.P>Q B.P=Q
C.P0,b>0)的最大值為12,則的最小值為( )
A. B. C. D.4
12.(2014河南鄭州模擬)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1,則a2+4b2+的最小值為( )
A. B.4 C. D.
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.將答案填在題中橫線上)
13.在平面幾何中有如下結(jié)論:若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論:若正四面體A-BCD的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則= .
14.觀察下列不等式
1+,
1+,
1+,
……
照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為 .
15.(2014福建龍巖模擬)設(shè)a,bR,給出下列條件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1,其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1”的條件是 .
16.設(shè)x,y滿足約束條件則z=x+4y的最大值為 .
三、解答題(本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(12分)已知非零向量ab,求證:.
18.(12分)(2014山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三診斷)記f(x)=ax2-bx+c,若不等式f(x)>0的解集為(1,3),試解關(guān)于t的不等式f(|t|+8)k的解集為{x|x<-3,或x>-2},求k的值;
(2)若對(duì)任意x>0,f(x)≤t恒成立,求實(shí)數(shù)t的范圍.
20.(12分)一變壓器的鐵芯截面為正十字型(兩個(gè)全等的長(zhǎng)方形,它們完全重合,把其中一個(gè)長(zhǎng)方形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后而得的組合圖叫正十字型),為保證所需的磁通量,要求十字應(yīng)具有4 cm2的面積,問應(yīng)如何設(shè)計(jì)十字型寬x及長(zhǎng)y,才能使其外接圓的周長(zhǎng)最短,這樣可使繞在鐵芯上的銅線最節(jié)省.
21.(12分)在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中,a1=2,不等式(n+1)an≥na2n對(duì)任意nN*都成立.
(1)求a2的取值范圍;
(2)判斷數(shù)列{an}是不是等比數(shù)列,并說明理由.
22.(14分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,區(qū)間I={x|f(x)>0}.
(1)求I的長(zhǎng)度(注:區(qū)間(α,β)的長(zhǎng)度定義為β-α);
(2)給定常數(shù)k(0,1),當(dāng)1-k≤a≤1+k時(shí),求I長(zhǎng)度的最小值.
