1.D 解析:0<<1,∴y=是減函數(shù).
又a>b,.
2.B 解析:“至少有一個(gè)”的反面應(yīng)是“一個(gè)都沒(méi)有”.故應(yīng)選B.
3.A 解析:當(dāng)a>1時(shí),y=ax為增函數(shù);當(dāng)00或a>0,b=0或a>0,b>0.故D錯(cuò)誤.
6.C 解析:假設(shè)這三個(gè)數(shù)都小于2,則三個(gè)數(shù)之和小于6.又≥2+2+2=6(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立),與假設(shè)矛盾,故這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.另取x=y=z=1,可排除A,B.
7.C 解析:假設(shè)P0,b>0)過(guò)直線(xiàn)x-y+2=0與直線(xiàn)3x-y-6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6.
則
≥+2=
.
12.D 解析:因?yàn)?=a+2b≥2,所以ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=時(shí),等號(hào)成立.
又a2+4b2+≥2=4ab+.
令t=ab,則f(t)=4t+單調(diào)遞減,
所以f(t)min=f.
此時(shí)a=2b=.
13. 解析:平面幾何中,圓的面積與圓的半徑的平方成正比,而在空間幾何中,球的體積與球的半徑的立方成正比,所以.
14.1+ 解析:先觀(guān)察左邊,第一個(gè)不等式為2項(xiàng)相加,第二個(gè)不等式為3項(xiàng)相加,第三個(gè)不等式為4項(xiàng)相加,則第五個(gè)不等式應(yīng)為6項(xiàng)相加,右邊分子為分母的2倍減1,分母即為所對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù),故應(yīng)填1+.
15.③ 解析:對(duì)于①,a,b均可小于1;對(duì)于②,a,b均可等于1;對(duì)于④⑤,a,b均可為負(fù)數(shù);對(duì)于③,若a,b都不大于1,則a+b≤2,與③矛盾.故若③成立,則a,b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1.
16.5 解析:畫(huà)出x,y的可行域如圖陰影區(qū)域.
由z=x+4y,得y=-x+.
先畫(huà)出直線(xiàn)y=-x,再平移直線(xiàn)y=-x,當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,1)時(shí),z=x+4y取得最大值為5.
17.證明:a⊥b,∴a·b=0.
要證,
只需證|a|+|b|≤|a-b|,
兩邊平方,得|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a·b),
只需證|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,
即(|a|-|b|)2≥0,顯然成立.故原不等式得證.
18.解:由題意知f(x)=a(x-1)(x-3),且a<0,
則二次函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上是減函數(shù).
又因?yàn)?+|t|≥8,2+t2≥2,
所以由二次函數(shù)的單調(diào)性知不等式f(|t|+8)2+t2,
即|t|2-|t|-6<0,
解得|t|<3,即不等式的解為-3k⇔kx2-2x+6k<0,
由已知其解集為{x|x<-3,或x>-2},
得x1=-3,x2=-2是方程kx2-2x+6k=0的兩根,
則-2-3=,解得k=-.
(2)x>0,∴f(x)=(當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),等號(hào)成立),
又已知f(x)≤t對(duì)任意x>0恒成立,
實(shí)數(shù)t的取值范圍是.
20.解:設(shè)y=x+2h,由條件知x2+4xh=4,即h=.
設(shè)外接圓的半徑為R,即求R的最小值,
4R2=x2+(2h+x)2
=2(x2+2hx+2h2),
∴2R2=f(x)=x2+x2+(0a1,即a2>2.
又(n+1)an≥na2n,令n=1,
則有2a1≥a2,即a2≤4,
所以a2(2,4].
(2)數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.
用反證法證明:
假設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,由a1=2>0,得an=2qn-1.
因?yàn)閿?shù)列{an}單調(diào)遞增,所以q>1.
因?yàn)?n+1)an≥na2n對(duì)任意nN*都成立,
所以對(duì)任意nN*,都有1+≥qn.①
因?yàn)閝>1,所以存在n0N*,使得當(dāng)n≥n0時(shí),qn>2.
因?yàn)?+≤2(nN*).
所以存在n0N*,使得當(dāng)n≥n0時(shí),qn>1+,與①矛盾,故假設(shè)不成立.
22.解:(1)因?yàn)榉匠蘟x-(1+a2)x2=0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x1=0,x2=.
所以f(x)>0的解集為{x|x1
