一、選擇題

1.已知等比數列{an}，且a4+a8=

dx，則a6(a2+2a6+a10)的值為(　　)

A.π2 B.4

C.π D.-9π

答案：A　命題立意：本題考查等比數列的性質及定積分的運算，正確地利用定積分的幾何意義求解積分值是解答本題的關鍵，難度中等.

解題思路：由于dx表示圓x2+y2=4在第一象限內部分的面積，故dx=×π×22=π，即a4+a8=π，又由等比數列的性質，得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=π2，故選A.

2.(東北三校二次聯考)已知{an}是等差數列，Sn為其前n項和，若S21=S4 000，O為坐標原點，點P(1，an)，點Q(2 011，a2 011)，則·=(　　)

A.2 011 B.-2 011

C.0 D.1

答案：A　命題立意：本題考查等差數列前n項和公式與性質及平面向量的坐標運算，難度中等.

解題思路：由已知S21=S4 000a22+a23+…+a4 000==3 979a2 011=0，故有a2 011=0，

因此·=2 011+ana2 011=2 011，故選A.

3.以雙曲線-=1的離心率為首項，以函數f(x)=4x-2的零點為公比的等比數列的前n項的和Sn=(　　)

A.3×(2n-1) B.3-(2n-1)

C.- 3×(2n-1) D.-3+(2n-1)

答案：B　命題立意：本題考查雙曲線的離心率及函數的零點與等比數列前n項和公式的應用，難度較小.

解題思路：由雙曲線方程易得e==，函數零點為，故由公式可得Sn==3=3-，故選B.

4.等差數列{an}的前n項和為Sn，若a4=15，S5=55，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率為(　　)

A.4 B.1

C.-4 D.-14

答案：A　命題立意：本題考查等差數列的性質、前n項和及直線斜率的坐標計算形式，難度較小.

解題思路：由題S5==55，故a1+a5=22，根據等差數列的性質可知a1+a5=2a3=22，故a3=11，因為a4=15，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率為kPQ===4，故選A.

5.在等比數列{an}中，對于n∈N*都有an+1·a2n=3n，則a1·a2·…·a6=(　　)

A.±()11 B.()13

C.±35 D.36

答案：D　命題立意：本題考查數列的遞推公式、等比數列的性質及整體代換思想，考查考生的運算能力，難度中等.

解題思路：由等比數列的性質可知，a1·a2·a3·a4·a5·a6=(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3=(a3)3(a4)3=(a3·a4)3，令n=2，得a3·a4=32，故選D.

6.等差數列{an}的前n項和為Sn，公差為d，已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1，(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1，則下列結論正確的是(　　)

A.d<0，S2 013=2 013 B.d>0，S2 013=2 013

C.d<0，S2 013=-2 013 D.d>0，S2 013=-2 013

答案：C　命題立意：本題考查函數的性質——單調性與奇偶性、等差數列的性質與前n項和公式，難度中等.

解題思路：記f(x)=x3+2 013x，則函數f(x)是在R上的奇函數與增函數;依題意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1>f(0)=0，即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1，a8+1=-(a2 006+1)，a8+1>0>a2 006+1即a8>a2 006，d=<0;a8+a2 006=-2，S2 013===-2 013，故選C.

二、填空題

7.在等差數列{an}中，a2=5，a1+a4=12，則an=________;設bn=(nN*)，則數列{bn}的前n項和Sn=________.

答案：2n+1　　命題立意：本題考查等差數列的通項公式與裂項相消法，難度中等.

解題思路：設等差數列{an}的公差為d，則有a2+a3=5+a3=12，a3=7，d=a3-a2=2，an=a2+(n-2)d=2n+1，bn==，因此數列{bn}的前n項和Sn=×

==.

8.設Sn為數列{an}的前n項和，若(nN*)是非零常數，則稱該數列為“和等比數列”，若數列{cn}是首項為2，公差為d(d≠0)的等差數列，且數列{cn}是“和等比數列”，則d=________.

答案：4　解題思路：由題意可知，數列{cn}的前n項和為Sn=，前2n項和為S2n=，所以==2+=2+，所以當d=4時，=4.

9.已知定義在R上的函數f(x)是奇函數且滿足f=f(x)，f(-2)=-3，數列{an}滿足a1=-1，且Sn=2an+n(其中Sn為{an}的前n項和)，則f(a5)+f(a6)=______.

答案：3　解題思路：因為Sn=2an+n，則Sn-1=2an-1+n-1，

兩式相減得an=2an-1-1，通過拼湊整理得an-1=2(an-1-1)，所以{an-1}是等比數列，則an-1=-2n，因此an=1-2n，所以a5=-31，a6=-63.

由f=f(x)且函數f(x)是奇函數，用-x代替x得到f=f(-x)=-f(x)，用+x代替x得到f(3+x)=f(x)，所以函數f(x)為周期為3，

則f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=f(2)+0=-f(-2)=3.

10.已知ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成遞減的等差數列.若A=2C，則的值為________.

答案：　命題立意：本題主要考查等差數列、正弦定理、余弦定理與三角函數基本公式.解題思路是依據題意得出a，b，c之間的關系，再結合正弦定理、余弦定理及A=2C，從而得出a，c之間的關系.

解題思路：依題意知b=，===2cos C=2×，即====，所以a2=c，即(2a-3c)(a-c)=0，又由a>c，因此有2a=3c，故=.

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