三、解答題

11.已知函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù)，數(shù)列{an}滿足an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an>1.

(1)設bn=log2(an-1)，求證：數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列;

(2)設cn=nbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.

命題立意：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的通項公式和前n項和公式等知識.解題時，首先根據(jù)二次函數(shù)的奇偶性求出b值，確定數(shù)列通項的遞推關系式，然后由等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列，這樣就求出數(shù)列{bn}的通項公式，進一步就會求出數(shù)列{cn}的通項公式，從而確定數(shù)列{cn}的前n項和Sn的計算方法.

解析：(1)證明： 函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù)，

b=0， f(x)=x2，

an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1，

an+1-1=2(an-1)2.

又a1=3，an>1，bn=log2(an-1)，

b1=log2(a1-1)=1，

====2，

數(shù)列{bn+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1，

cn=nbn=n2n-n.

設An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，

則2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，

-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1

=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2，

An=(n-1)2n+1+2.

設Bn=1+2+3+4+…+n，則Bn=，

Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.

12.函數(shù)f(x)對任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.

(1)求f的值;

(2)數(shù)列{an}滿足：an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，求an;

(3)令bn=，Tn=b+b+…+b，Sn=8-，試比較Tn與Sn的大小.

解析：(1)令x=，

則有f+f=f+f=1.

f=.

(2)令x=，得f+f=1，

即f+f=1.

an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，

an=f(1)+f+f+…+f+f(0).

兩式相加，得

2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1，

an=，nN*.

(3)bn==，

當n=1時，Tn=Sn;

當n≥2時，

Tn=b+b+…+b

=4

<4

=4

=4=8-=Sn.

綜上，Tn≤Sn.

13.某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲得a元的前提下，可賣出b千克.若做廣告宣傳，廣告費為n(nN*)千元時比廣告費為(n-1)千元時多賣出千克.

(1)當廣告費分別為1千元和2千元時，用b表示銷售量s;

(2)試寫出銷售量s與n的函數(shù)關系式;

(3)當a=50，b=200時，要使廠家獲利最大，銷售量s和廣告費n分別應為多少?

解析：(1)當廣告費為1千元時，銷售量s=b+=.

當廣告費為2千元時，銷售量s=b++=.

(2)設Sn(nN)表示廣告費為n千元時的銷售量，

由題意得，s1-s0=，

s2-s1=，

……

sn-sn-1=.

以上n個等式相加得，

sn-s0=+++…+.

即s=sn=b++++…+.

==b.

(3)當a=50，b=200時，設獲利為Tn，

則有Tn=sa-1 000n=10 000×-1 000n=1 000×，

設bn=20--n，

則bn+1-bn=20--n-1-20++n=-1.

當n≤2時，bn+1-bn>0;

當n≥3時，bn+1-bn<0.

所以當n=3時，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此時s=375，即該廠家獲利最大時，銷售量和廣告費分別為375千克和3千元.