函數(shù)的奇偶性

題組一

函數(shù)的奇偶性的判定

1.已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 (　　)

①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.

A.①③ B.②③

C.①④ D.②④

解析：由奇函數(shù)的定義驗(yàn)證可知②④正確，選D.

答案：D

2.已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+4，若f(x+1)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析：∵f(x)=x2-ax+4，

∴f(x+1)=(x+1)2-a(x+1)+4

=x2+2x+1-ax-a+4

=x2+(2-a)x+5-a，

f(1-x)=(1-x)2-a(1-x)+4

=x2-2x+1-a+ax+4

=x2+(a-2)x+5-a.

∵f(x+1)是偶函數(shù)，

∴f(x+1)=f(-x+1)，

∴a-2=2-a，即a=2.

答案：D

3.若函數(shù)f(x)=x2+(a∈R)，則下列結(jié)論正確的是 (　　)

A.?a∈R，f(x) 在(0，+∞)上是增函數(shù)

B.?a∈R，f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)

C.?a∈R，f(x)是偶函數(shù)

D.?a∈R，f(x)是奇函數(shù)

解析：當(dāng)a=16時(shí)，f(x)=x2+，f′(x)=2x-，

令f′(x)>0得x>2.

∴f(x)在(2，+∞)上是增函數(shù)，故A、B錯(cuò).

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2是偶函數(shù)，故C正確.

D顯然錯(cuò)誤，故選C.

答案：C

題組二

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

4.已知函數(shù)f (x)=ax4+bcosx-x，且f (-3)=7，則f (3)的值為 (　　)

A.1 B.-7 C.4 D.-10

解析：設(shè)g(x)=ax4+bcosx，則g(x)=g(-x).由f (-3)=g(-3)+3，得g(-3)=f(-3)-3=4，所以g(3)=g(-3)=4，所以f (3)=g(3)-3=4-3=1.

答案：A

5.已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x+4)=f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)=2x2，則f(7)=(　　)

A.-2 B.2 C.-98 D.98

解析：由f(x+4)=f(x)，得f(7)=f(3)=f(-1)，

又f(x)為奇函數(shù)，∴f(-1)=-f(1)，

f(1)=2×12=2，∴f(7)=-2.故選A.

答案：A

6.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(1)=，f(x+2)=f(x)+f(2)，則f(5)= (　　)

A.0 B.1 C. D.5

解析：由f(1)=，

對f(x+2)=f(x)+f(2)，

令x=-1，

得f(1)=f(-1)+f(2).

又∵f(x) 為奇函數(shù)，∴f(-1)=-f(1).

于是f(2)=2f(1)=1;

令x=1，得f(3)=f(1)+f(2)=，

于是f(5)=f(3)+f(2)=.

答案：C