7.已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函數(shù)，在(0，+∞)上單調(diào)遞減，且f()>0>f(-)，則方程f(x)=0的根的個數(shù)為 (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由于函數(shù)是偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞減，因此在(-∞，0)上單調(diào)遞增，又因為f()>0>f(-)=f()，所以函數(shù)f(x)在(，)上與x軸有一個交點，必在(-，-)上也有一個交點，故方程f(x)=0的根的個數(shù)為2.

答案：C

8.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x>0時，f(x)=2008x+log2008x，則方程f(x)=0的實根的個數(shù)為　　　　.

解析：當x>0時，f(x)=0即2008x=-log2008x，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)f1(x)=2008x，f2(x)=-log2008x的圖象(圖略)，可知兩個圖象只有一個交點，即方程f(x)=0只有一個實根，又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當x<0時，方程f(x)=0也有一個實根，又因為f(0)=0，所以方程f(x)=0的實根的個數(shù)為3.

答案：3

題組三

函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問題

9.定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x2∈ 上是增函數(shù).若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根x1，x2，x3，x4， 則x1+x2+x3+x4=　　　　.

解析：由f(x-4)=-f(x)?f(4-x)=f(x)，

故函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱，

又函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，

故f(0)=0，故函數(shù)f(x)在(0,2]上大于0，

根據(jù)對稱性知函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

解：(1)設(shè)x<0，則-x>0，

所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

又f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，

于是x<0時，f(x)=x2+2x=x2+mx，

所以m=2.

(2)要使f(x)在上單調(diào)遞增，

結(jié)合f(x)的圖象知

所以1

(理)已知定義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).

(1)求a、b的值;

(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范圍.

解：(1)因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，

即=0，解得b=1，從而有f(x)=.

又由f(1)=-f(-1)，知=-，解得a=2.

故a=2，b=1.

(2)由(1)知f(x)==-+.

由上式易知f(x)在(-∞，+∞)上為減函數(shù).

又因f(x)是奇函數(shù)，

從而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0

等價于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).

因f(x)是減函數(shù)，由上式推得t2-2t>-2t2+k，

即對一切t∈R有3t2-2t-k>0.

從而判別式Δ=4+12k<0，解得k<-.