(二) 連續(xù)隨機變量的分布

　連續(xù)隨機變量x的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示。下面以產(chǎn)品的質(zhì)量特性x，(如加工機械軸的直徑)為例來說明p(x)的由來。

　　假定我們一個接一個地測量產(chǎn)品的某個質(zhì)量特性值x, 把測量得到的x值一個接一個地放在數(shù)軸上。當累積到很多x值時，就形成一定的圖形，為了使這個圖形得以穩(wěn)定，把縱軸改為單位長度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測質(zhì)量特性值x的數(shù)量愈多，這個圖形就愈穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條光滑曲線。這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)表達式p(x)稱為概率密度函數(shù)，它就是一種表示質(zhì)量特性x隨機取值的內(nèi)在統(tǒng)計規(guī)律性的函數(shù)。

　　概率密度函數(shù)p(x)有多種形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形狀不同。這些不同的分布形式反映了質(zhì)量特性總體上的差別，這種差別正是管理層應(yīng)該特別關(guān)注之處。

　這里應(yīng)強調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為 "單位長度上的概率"，這就是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線。概率密度函數(shù)p(x)是連續(xù)隨機變量特有的概念，它有如下性質(zhì)。

　　(1)p(x)一定位于x軸上方，即p(x) 0。

　　(2)p(x)與x軸所夾的面積恰好為1，即 。

　　(3)連續(xù)隨機變量x在區(qū)間 [a, b] 上的取值的概率 為概率密度曲線下，在區(qū)間 [a, b] 上所夾的曲邊梯形面積 (見圖1.2-3)。

　　(4)連續(xù)隨機變量x取一點的概率為零，即p(x=a)=0，因為在一點上的積分永遠為零。

　　(5) ,這是因為 , 后者為零即得。

　　(6)連續(xù)隨機變量x 的分布函數(shù)f(x)可用其密度函數(shù)算得，即　f(x)=p(x x)= 注：所謂分布函數(shù)f(x)就是概率密度函數(shù)從 到x的積分，它表示隨機變量取值從 到x的概率，或 [例1.2-5 ] 考試得分是一個隨機變量，下面是三個不同地區(qū)同一課程考試得分的概率密度函數(shù) (見圖1.2-4)。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對每一地區(qū)，及格率大約是0.5呢?還是大大超過0.5?還是大大低于0.5?

　　解:在圖1.2-4上的50分處引一條垂線，則及格概率是:

　　從50到100之間的面積

　　從圖1.2-4上可以看出:

　　地區(qū)(a)的及格概率大大超過0.5。