[例1.1-10]某足球隊(duì)在未來(lái)一周中有兩場(chǎng)比賽，在第一場(chǎng)比賽中獲勝的概率為1/2，在第二場(chǎng)比賽中獲勝的概率是1/3，如果在兩場(chǎng)比賽中都獲勝概率是1/6，那么在兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率是多少?

　　解：設(shè)事件ai=“第i場(chǎng)比賽獲勝”，i=1，2。于是有：

　　p(a1)=1/2，p(a2)=1/3，p(a1a2)=1/6。

　　由于事件“兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝”可用事件a1∪a2表示，所求概率為

　　p(a1∪a2)。另外由于事件a1與a2是可能同時(shí)發(fā)生的，故a1與a2不是互不相容事件，應(yīng)用性質(zhì)4來(lái)求，即：

　　p(a1∪a2)=p(a1)+p(a2)-p(a1a2)=1/2+1/3-1/6=2/3

　　這表明在未來(lái)兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率為2/3。

　　(二) 條件概率及概率的乘法法則

　　條件概率涉及兩個(gè)事件a與b，在事件b發(fā)生的條件下，事件a發(fā)生的概率稱為條件概率, 記為 。條件概率的計(jì)算公式為:

　　(1.1-3)

　　為了幫助同學(xué)們理解，我們用圖1.1—11來(lái)說(shuō)明1.1-3式中各符號(hào)的含義： 是事件b的面積除以樣本空間的面積， 是圖中的陰影部分的面積除以樣本空間的面積， 是陰影部分的面積除以事件b的面積。

　　注：① 時(shí)，條件概率無(wú)意義。(即條件不能是不可能事件)

　�、� 。(即 是特殊的條件概率)

　　1.1—3式表明:條件概率可用兩個(gè)特定的 (無(wú)條件) 概率之商來(lái)計(jì)算，在舉例說(shuō)明之前，先導(dǎo)出概率的乘法公式。

　　性質(zhì)6：對(duì)任意兩個(gè)事件a與b 有:

　　(1.1-4)

　　其中第一個(gè)等式要求p(b)>0，第二個(gè)等式要求p(a)>0。這一性質(zhì)可以從圖1.1—11中很容易看出。

　　[例1.1-11] 考慮有兩個(gè)孩子的家庭： ，其中b表示男孩，g表示女孩。求：(1)家中有一個(gè)男孩和一個(gè)女孩的概率。(2)在有女孩的家庭中，有一個(gè)男孩的概率。

　　解：若事件a表示：家中至少有一個(gè)男孩，則p(a)= ;

　　若事件b表示：家中至少有一個(gè)女孩，則p(b)= ;

　　家中有一個(gè)男孩和一個(gè)女孩的概率為：

　　在有女孩的家庭中，有一個(gè)男孩的概率為：

　　[例1.1-12] 設(shè)某樣本空間含有25個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，又設(shè)事件a含有其中15個(gè)樣本點(diǎn)，事件b含有7個(gè)樣本點(diǎn)，交事件ab含有5個(gè)樣本點(diǎn)，詳見(jiàn)圖1.1-11(書(shū)第23頁(yè))。由古典定義可知:

　　于是在事件b發(fā)生的條件下，事件a的條件概率為:

　　這個(gè)條件概率也可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí): 事件b發(fā)生，意味著其對(duì)立事件 不會(huì)發(fā)生。因此 中18個(gè)樣本點(diǎn)可不予考慮，可能的情況是事件b中的7個(gè)樣本點(diǎn)之一。可見(jiàn)事件b的發(fā)生把原來(lái)的樣本空間 縮減為新的樣本空間 =b。這時(shí)事件a所含樣本點(diǎn)在 中所占比率為5/7。這與公式計(jì)算結(jié)果一致，任一條件概率都可這樣解釋。

　　類似地，利用這個(gè)解釋，可得 。

　　[例1.1-13]表1.1-3給出了烏龜?shù)膲勖�表，記事件ax=“烏龜能活到x歲”，從表中讀出p(a20)=0.92，p(a80)=0.87等�，F(xiàn)求下列事件的條件概率：

　　1) 已活到20歲的烏龜能活到80歲的概率是多少?

　　要求的概率是條件概率p(a80∣a20)，按公式應(yīng)為

　　p(a80∣a20)=p(a20a80)/p(a20)

　　由于活到80歲的烏龜一定先活到20歲，這意味著a80 從而交事件

　　a20a80=a80故上述條件概率為：

　　p(a80∣a20)=p(a80)/p(a20)=0.87/0.92=0.95

　　即100只活到20歲的烏龜中大約有95只能活到80歲。

　　2) 已活到120歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?

　　類似的

　　p(a200∣a120)=p(a120a200)/p(a120)=0.39/0.78=0.5

　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲。

　　假如我們能獲得彈藥的貯存壽命，那么就可計(jì)算已存放10年的彈藥再存放5年仍完好的概率。假如有一個(gè)國(guó)家的人的壽命表，就可處出30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險(xiǎn)公司正是利用條件概率對(duì)不同年齡的投保人計(jì)算人壽保險(xiǎn)費(fèi)率的。