[例1.1-10]某足球隊在未來一周中有兩場比賽，在第一場比賽中獲勝的概率為1/2，在第二場比賽中獲勝的概率是1/3，如果在兩場比賽中都獲勝概率是1/6，那么在兩場比賽中至少有一場獲勝的概率是多少?

　　解：設事件ai=“第i場比賽獲勝”，i=1，2。于是有：

　　p(a1)=1/2，p(a2)=1/3，p(a1a2)=1/6。

　　由于事件“兩場比賽中至少有一場獲勝”可用事件a1∪a2表示，所求概率為

　　p(a1∪a2)。另外由于事件a1與a2是可能同時發(fā)生的，故a1與a2不是互不相容事件，應用性質4來求，即：

　　p(a1∪a2)=p(a1)+p(a2)-p(a1a2)=1/2+1/3-1/6=2/3

　　這表明在未來兩場比賽中至少有一場獲勝的概率為2/3。

　　(二) 條件概率及概率的乘法法則

　　條件概率涉及兩個事件a與b，在事件b發(fā)生的條件下，事件a發(fā)生的概率稱為條件概率, 記為 。條件概率的計算公式為:

　　(1.1-3)

　　為了幫助同學們理解，我們用圖1.1—11來說明1.1-3式中各符號的含義： 是事件b的面積除以樣本空間的面積， 是圖中的陰影部分的面積除以樣本空間的面積， 是陰影部分的面積除以事件b的面積。

　　注：① 時，條件概率無意義。(即條件不能是不可能事件)

　�、� 。(即 是特殊的條件概率)

　　1.1—3式表明:條件概率可用兩個特定的 (無條件) 概率之商來計算，在舉例說明之前，先導出概率的乘法公式。

　　性質6：對任意兩個事件a與b 有:

　　(1.1-4)

　　其中第一個等式要求p(b)>0，第二個等式要求p(a)>0。這一性質可以從圖1.1—11中很容易看出。

　　[例1.1-11] 考慮有兩個孩子的家庭： ，其中b表示男孩，g表示女孩。求：(1)家中有一個男孩和一個女孩的概率。(2)在有女孩的家庭中，有一個男孩的概率。

　　解：若事件a表示：家中至少有一個男孩，則p(a)= ;

　　若事件b表示：家中至少有一個女孩，則p(b)= ;

　　家中有一個男孩和一個女孩的概率為：

　　在有女孩的家庭中，有一個男孩的概率為：

　　[例1.1-12] 設某樣本空間含有25個等可能的樣本點，又設事件a含有其中15個樣本點，事件b含有7個樣本點，交事件ab含有5個樣本點，詳見圖1.1-11(書第23頁)。由古典定義可知:

　　于是在事件b發(fā)生的條件下，事件a的條件概率為:

　　這個條件概率也可以這樣來認識: 事件b發(fā)生，意味著其對立事件 不會發(fā)生。因此 中18個樣本點可不予考慮，可能的情況是事件b中的7個樣本點之一。可見事件b的發(fā)生把原來的樣本空間 縮減為新的樣本空間 =b。這時事件a所含樣本點在 中所占比率為5/7。這與公式計算結果一致，任一條件概率都可這樣解釋。

　　類似地，利用這個解釋，可得 。

　　[例1.1-13]表1.1-3給出了烏龜?shù)膲勖�表，記事件ax=“烏龜能活到x歲”，從表中讀出p(a20)=0.92，p(a80)=0.87等�，F(xiàn)求下列事件的條件概率：

　　1) 已活到20歲的烏龜能活到80歲的概率是多少?

　　要求的概率是條件概率p(a80∣a20)，按公式應為

　　p(a80∣a20)=p(a20a80)/p(a20)

　　由于活到80歲的烏龜一定先活到20歲，這意味著a80 從而交事件

　　a20a80=a80故上述條件概率為：

　　p(a80∣a20)=p(a80)/p(a20)=0.87/0.92=0.95

　　即100只活到20歲的烏龜中大約有95只能活到80歲。

　　2) 已活到120歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?

　　類似的

　　p(a200∣a120)=p(a120a200)/p(a120)=0.39/0.78=0.5

　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲。

　　假如我們能獲得彈藥的貯存壽命，那么就可計算已存放10年的彈藥再存放5年仍完好的概率。假如有一個國家的人的壽命表，就可處出30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險公司正是利用條件概率對不同年齡的投保人計算人壽保險費率的。