(三) 概率的統(tǒng)計定義

　概率的統(tǒng)計定義的要點如下：

　　(1)與事件a有關(guān)的隨機現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗的;

　　(2)若在n次重復(fù)試驗中，事件a發(fā)生 次，則事件a發(fā)生的頻率為:

　　(1.1-2)

　　頻率 能反映事件a發(fā)生的可能性大小;

　　(3)頻率 將會隨著重復(fù)試驗次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是事件a的概率。在實際中人們無法把一個試驗無限次地重復(fù)下去，只能用重復(fù)試驗次數(shù)n較大時的頻率去近似表示概率。

　　[例1.1-7 ] 說明頻率穩(wěn)定的例子

　　(1)為了驗證擲一枚均勻硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，許多人做了大量的重復(fù)試驗，圖1.1-10記錄了前400次擲硬幣試驗中頻率 的變化情況。在重復(fù)次數(shù)n較小時 波動劇烈，隨著n的增大， 波動的幅度在逐漸變小。歷史上有不少人做過更多次重復(fù)試驗。其結(jié)果(見表1.1-1)表明，正面出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.5。這個0.5就是頻率的穩(wěn)定值，也是正面出現(xiàn)的概率，這與用古典方法計算的概率是相同的。

　　(2)在英語中某些字母出現(xiàn)的頻率遠高于另外一些字母。人們對各類的英語書刊中字母出現(xiàn)的頻率進行了統(tǒng)計。發(fā)現(xiàn)各個字母的使用頻率相當(dāng)穩(wěn)定，其使用頻率見表1.1-2。這項研究在計算機鍵盤設(shè)計 (在方便的地方安排使用頻率較高的字母鍵)、印刷鉛字的鑄造 (使用頻率高的字母應(yīng)多鑄一些)、信息的編碼 (使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是有用的。

　　三、概率的性質(zhì)及其運算法則

　　(一) 概率的基本性質(zhì)及加法法則

　　根據(jù)概率的上述定義，可以看出它具有以下基本性質(zhì):

　　性質(zhì)l：概率是非負的，其數(shù)值介于0與1之間，即對任意事件a,有:

　　特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即：

　　性質(zhì)2：若 是a的對立事件，則：

　　或

　　性質(zhì)3：若 則：

　　性質(zhì)4：事件a與b的并的概率為:

　　這個性質(zhì)稱為概率的加法法則。特別若a與b互不相容，即：

　　若 ，則：

　　性質(zhì)5：對于多個互不相容事件 ，有:

　　[例1.1-7] 拋三枚硬幣，至少一個正面出現(xiàn) (記為事件 )的概率是多少?

　　解：在拋三枚硬幣的隨機試驗中，樣本空間共有8個樣本點：(正、正、正)、(反、反、反)、(正、反、反)、(反、正、反)、(反、反、正)、(正、正、反)、(正、反、正)、(反、正、正)。 中所含的樣本點較多，但其對立事件 ="拋三枚硬幣，全是反面"={(反，反，反)}，只含一個樣本點，從等可能性可知 =1/8。再由性質(zhì)2，可得:

　　[例1.1-8] 設(shè)事件 的概率分別為 .在下列三種情況下分別求 的值：

　　(1) 與 互斥;

　　(2) 解：(1)因為 與 互斥，所以 ， =0

　　(2)因為 所以 = = [例1.1-9]一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格品，現(xiàn)從中隨機抽出10件，其中最多有兩件不合格品的概率是多少?

　　解：設(shè)ai表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品” ，于是所求事件上a=“最多有2件不合格品可表示為：a=a0∪a1∪a2，并且a0、 a1、 a2為三個互不相容事件，由性質(zhì)5可知：p(a)=p(a0)+p(a1)+p(a2)。余下就是用古典方法算得ai的概率。據(jù)a0的定義，從100件產(chǎn)品隨機抽出10件的所有樣本點共有 個。要使抽出的10件產(chǎn)品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以：

　　p(a0)= 類似的可算得：

　　p(a1)= p(a2)=0.0702

　　于是所求的概率為：

　　p(a)=0.5837+0.3394+00.0702=0.9933

　　可見事件a發(fā)生的概率很接近于1，說明發(fā)生的可能性大;而它的對立事件a=“抽10件產(chǎn)品中至少有3件不合格品”的概率p( )=1-p(a)=0.0067，發(fā)生的可能性很小。