[例1.1-5] 一批產(chǎn)品共有n個(gè)，其中不合格品有m個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè) ，

　問(wèn)：事件am= "恰好有m個(gè)不合格品"的概率是多少?

　　從n個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)共有 個(gè)不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個(gè)問(wèn)題的樣本空間 。

　　其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這 個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。以后對(duì)“隨機(jī)抽取”一詞都可以作同樣理解。下面

　　我們先計(jì)算事件a0、a1的概率，然后計(jì)算一般事件am的概率。

　　事件a0="恰好有0個(gè)不合格品"="全是合格品"，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品全是合格品，那么必須從該批中n-m個(gè)合格品中抽取，這有 種取法。故事件a0的概率為:

　　事件a1="恰好有1個(gè)不合格品"，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品只有一個(gè)不合格品，其他n-1個(gè)是合格品，可分二步來(lái)實(shí)現(xiàn)。第一步從m個(gè)不合格品中隨機(jī)取出1個(gè)，共有 種取法;第二步從n-m個(gè)合格品中隨機(jī)取出n-1個(gè)，共有 種取法。依據(jù)乘法原則，事件a1共含有 個(gè)樣本點(diǎn)。故事件a1的概率為：

　　最后，事件am發(fā)生，必須從m個(gè)不合格品中隨機(jī)抽取m個(gè)，而從n-m個(gè)合格品中隨機(jī)抽取n-m個(gè)，依據(jù)乘法原則，事件am共含有 個(gè)樣本點(diǎn)，故事件am的概率是:

　　其中r=min(n,m)為n, m中的較小的一個(gè)數(shù)，它是m的最大取值，這是因?yàn)閙既不可能超過(guò)取出的產(chǎn)品數(shù)n, 也不可能超過(guò)不合格品總數(shù)m，因此 。

　　假如n=10.m=2和n=4，下面來(lái)計(jì)算諸事件am的概率:

　　而a3,a4等都是不可能事件，因?yàn)?0個(gè)產(chǎn)品中只有2個(gè)不合格品，而要從中抽出3個(gè)或4個(gè)不合格品是不可能的，因而p(a3)=p(a4)=0 。

　　[例1.1-6](放回抽樣)抽樣有兩種形式：不放回抽樣與放回抽樣。上例討論的是不放回抽樣，每次抽取一個(gè)，不放回，再抽取下一個(gè)，這相當(dāng)于n個(gè)同時(shí)取出，因此可不論其次序。放回抽樣是每次抽一個(gè)，將其放回，均勻混合后再抽下一個(gè)。這時(shí)要講究先后次序，現(xiàn)對(duì)上例采取放回抽樣方式討論事件bm=“恰好有m個(gè)不合格品” 的概率。

　　從n個(gè)產(chǎn)品中每次隨機(jī)抽取一個(gè)，檢查后放回抽第二個(gè)，這樣直到抽出第n個(gè)產(chǎn)品為止。由于每次都有n種可能，故在放回抽樣的問(wèn)題中共有nm個(gè)可能的樣本點(diǎn)。

　　事件b0=“全是合格品”發(fā)生必須從n-m個(gè)合格品中用放回抽樣的方式隨機(jī)抽取n次，它共含有 (n-m)n種取法，故事件b0的概率為：

　　p(b0)=(n-m)n/nn=(1-m/n)n

　　事件b1=“恰好有一件不合格品”發(fā)生，必須從n-m個(gè)合格品中用放回抽樣抽取n-1次，而從m個(gè) 不合格品中抽一次，這樣就有m(n-m)n-1種取法，再考慮不合格品出現(xiàn)的順序，故事件b1的概率為p(b1)=nm(n-m)n-1/nn

　　同樣的可求bm的概率。