一、內(nèi)容提要

　　2.概率的統(tǒng)計定義

　　3.概率的基本性質(zhì)及加法法則

　　4.條件概率及概率的乘法法則

　　5.獨立性和獨立事件的概率

　　二、重點與難點

　　1.熟悉概率的古典定義及其簡單計算

　　2.掌握概率的統(tǒng)計定義

　　3.掌握概率的基本性質(zhì)

　　4.掌握事件的互不相容性和概率的加法法則

　　5.掌握事件的獨立性、條件概率和概率的乘法法則

　　三、內(nèi)容講解

　　古典概率的定義與統(tǒng)計定義

　　確定一個事件的概率有幾種方法，這里介紹其中兩種最主要的方法，在歷史上，這兩種方法分別被稱為概率的兩種定義，即概率的古典定義及統(tǒng)計定義。

　　(一) 概率的古典定義

　　用概率的古典定義確定概率的方法的要點如下:

　　(1)所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個樣本點，設(shè)共有n個樣本點;

　　(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同(等可能性);

　　(3)若被考察的事件a含有k個樣本點，則事件a的概率為:

　　(1.1-1)

　　[例1.1-3] 擲兩顆骰子，其樣本點可用數(shù)組(x , y)表示，其中，x與y分別表示第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)。這一隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間為:

　　它共含36個樣本點，并且每個樣本點出現(xiàn)的可能性都相同。

　　(1) 定義事件a=“點數(shù)之和為2”={(1，1)}，它只含一個樣本點，故p(a)=1/36。

　　(2) 定義事件b="點數(shù)之和為5"= ，它含有4個樣本點，故p(b)=4/36=1/9。

　　(3) 定義事件c="點數(shù)之和超過9"= , 它含有6個樣本點，故 p(c)=6/36=1/6。

　　(4) 定義事件d="點數(shù)之和大于3，而小于7"　= ， 它含有12個樣本點，故它的概率p(d)=12/36=1/3。

　　[例1.1—4] 從標(biāo)號為1，2，…,10的10個同樣大小的球中任取一個，求下列事件的概率：a:‘抽中2號’，　b:‘抽中奇數(shù)號’，　c:‘抽中的號數(shù)不小于7’。

　　解：顯然 ，所以

　　(二)排列與組合

　　用古典方法求概率，經(jīng)常需要用到排列與組合的公式�，F(xiàn)簡要介紹如下:

　　排列與組合是兩類計數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計數(shù)原理。

　　(1)乘法原理: 如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法，做第二步m2種方法，…，做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1×m2×…×mk種方法。

　　例如, 甲城到乙城有3條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有3×2=6條旅游線路。

　　(2) 加法原理: 如果做某件事可由k類不同方法之一去完成，其中在第一類方法中又有m1種完成方法, 在第二類方法中又有m2種完成方法，… ，在第k類方法中又有mk種完成方法, 那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法。

　　例如，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具: 汽車、火車和飛機(jī)，而汽車有5個班次，火車有3個班次，飛機(jī)有2個班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個班次供旅游選擇。

　　(3)排列與組合的定義及其計算公式如下:

　�、倥帕�:從n個不同元素中任取 個元素排成一列稱為一個排列。按乘法原理，此種排列共有n×(n-1) ×…×(n-r+1)個，記為 。若r=n,稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個，記為pn，即:

　　= n×(n-1) ×…×(n-r+1), pn= n!

　　②重復(fù)排列:從n個不同元素中每次取出一個作記錄后放回，再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列。按乘法原理，此種重復(fù)排列共有 個。注意，這里的r允許大于n。

　　例如，從10個產(chǎn)品中每次取一個做檢驗，放回后再取下一個，如此連續(xù)抽取4次，所得重復(fù)排列數(shù)為 。假如上述抽取不允許放回，則所得排列數(shù)為10×9×8×7=5040。

　　③組合: 從n個不同元素中任取 個元素并成一組 (不考慮他們之間的排列順序)稱為一個組合，此種組合數(shù)為：

　　特別的規(guī)定0!=1，因而 。另外，在組合中，r個元素"一個接一個取出"與"同時取出"是等同的。

　　例如，從10個產(chǎn)品中任取4個做檢驗，所有可能取法是從10個中任取4個的組合數(shù)，則不同取法的種數(shù)為：

　　這是因為取出的任意一組中的4個產(chǎn)品的全排列有4!=24種。而這24種排列在組合中只算一種。所以 。

　　注意:排列與組合都是計算 "從n個不同元素中任取r個元素"的取法總數(shù)公式，他們的主要差別在于: 如果講究取出元素間的次序，則用排列公式;如果不講究取出元素間的次序，則用組合公式。至于是否講究次序，應(yīng)從具體問題背景加以辨別。