(三)事件的運算

　　事件的運算有下列四種。

　　(1)對立事件：在一個隨機現(xiàn)象中， 是樣本空間，a為事件，由 中而不在a中的樣本點組成的事件稱為a的對立事件，記為 。如圖1.1-4其中的陰影部分就表示a的對立事件 。 就是表示a不發(fā)生。對立事件是相互的，a的對立事件是 ， 的對立事件是a。特別地，必然事件 與不可能事件 互為對立事件，即 。

　　顯然有：

　　(2) 事件的并：由事件a與b中所有的樣本點(相同的只計入一次)組成的新事件稱為a與b并，記為 。如圖1.1-5。并事件 發(fā)生意味著“事件a與b中至少有一個發(fā)生”。

　　顯然有：① ;

　�、� ， ;

　�、廴� ，則 。特別地， 。

　　(3)事件的交：由事件a與b中公共的樣本點組成的新事件稱為事件a與b的交，記為 或ab。如圖1.1-6。交事件 發(fā)生意味著“事件a與b同時發(fā)生”。

　　顯然有：⑴ ， ;

　�、迫� ，特別地 ;

　�、侨� 。

　　注：事件的交和并可推廣到更多個事件的情形。

　　(4)事件的差：由屬于事件a而不屬于事件b的樣本點組成的新事件稱為a對b的差，記為a-b，表示事件a發(fā)生而事件b不發(fā)生的事件。如圖1.1-7。顯然，b-a，表示b對a的差，一般 。

　　顯然有：①不要求 ，才有 ，若 ;

　�、谌� ;

　�、� ;

　�、� (證明： )

　　2.事件的運算性質(zhì)

　　事件的運算具有如下性質(zhì)：

　　(1)交換律： , ;

　　(2)結(jié)合律： ， ;

　　(3)分配律： ， (4)對偶律： ， 。

　　以上性質(zhì)都可用維恩圖加以驗證，這些性質(zhì)都可推廣到更多個事件運算上去。

　　[例1.1-3] 設a、b、c為任意三個事件，試用a、b、c的運算關(guān)系表示下列各事件：

　�、偃齻�事件中至少一個發(fā)生 ②沒有一個事件發(fā)生 (由對偶律)

　　③恰有一個事件發(fā)生 ④至多有兩個事件發(fā)生(考慮其對立事件)

　�、葜辽儆袃蓚�事件發(fā)生

　　(四)概率

　　所謂概率，就是事件發(fā)生可能性大小的度量。

　　雖然隨機事件的發(fā)生與否是帶有偶然性的，但是隨機事件發(fā)生的可能性還是有大小之別的，是可以度量的。實際上，在生活、生產(chǎn)和經(jīng)濟活動中，人們也常關(guān)心一個隨機事件發(fā)生的可能性大小。例如：

　　(1)拋一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2。

　　(2)某廠試制成功一種新止痛片，在未來市場的占有率可能有多高呢?

　　(3)購買彩券的中獎機會有多少呢?

　　上述問題中的正面出現(xiàn)的機會、市場占有率、中簽率以及常見的不合格品率、命中率等都是用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小。一個隨機事件a發(fā)生的可能性的大小稱為這個事件的概率，并用p(a)表示。顯然，概率是一個介于0到1之間的數(shù)，因為可能性都是介于0%到100%之間的。概率愈大，事件發(fā)生的可能性就愈大;概率愈小，事件發(fā)生的可能性就愈小。

　　特別地，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即：