二) 條件概率及概率的乘法法則

條件概率涉及兩個(gè)事件A與B，在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為條件概率, 記為 。

為了幫助同學(xué)們理解，我們用圖1.1—11來說明1.1-3式中各符號(hào)的含義： 是事件B的面積除以樣本空間的面積， 是圖中的陰影部分的面積除以樣本空間的面積， 是陰影部分的面積除以事件B的面積。考試用書

注：① 時(shí)，條件概率無意義。(即條件不能是不可能事件)

② 。(即 是特殊的條件概率)

1.1—3式表明:條件概率可用兩個(gè)特定的 (無條件) 概率之商來計(jì)算，在舉例說明之前，先導(dǎo)出概率的乘法公式。

性質(zhì)6：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B 有:

(1.1-4)

其中第一個(gè)等式要求P(B)>0，第二個(gè)等式要求P(A)>0。這一性質(zhì)可以從圖1.1—11中很容易看出。

[例1.1-9] 考慮有兩個(gè)孩子的家庭： ，其中b表示男孩，g表示女孩。求：(1)家中有一個(gè)男孩和一個(gè)女孩的概率。(2)在有女孩的家庭中，有一個(gè)男孩的概率。

解：若事件A表示：家中至少有一個(gè)男孩，則P(A)= ;

若事件B表示：家中至少有一個(gè)女孩，則P(B)= ;

家中有一個(gè)男孩和一個(gè)女孩的概率為：

在有女孩的家庭中，有一個(gè)男孩的概率為：

[例1.1-10] 設(shè)某樣本空間含有25個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，又設(shè)事件A含有其中15個(gè)樣本點(diǎn)，事件B含有7個(gè)樣本點(diǎn)，交事件AB含有5個(gè)樣本點(diǎn)，詳見圖1.1-11(書第23頁)。由古典定義可知:

于是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為:

這個(gè)條件概率也可以這樣來認(rèn)識(shí): 事件B發(fā)生，意味著其對(duì)立事件 再不會(huì)發(fā)生。因此 中18個(gè)樣本點(diǎn)可不予考慮，可能的情況是事件B中的7個(gè)樣本點(diǎn)之一�？梢娛录﨎的發(fā)生把原來的樣本空間 縮減為新的樣本空間 =B。這時(shí)事件A所含樣本點(diǎn)在 中所占比率為5/7。這與公式計(jì)算結(jié)果一致，任一條件概率都可這樣解釋。

類似地，利用這個(gè)解釋，可得 。