(一)抽樣分布的概念

　　統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。為了說明抽樣分布概念，我們先考察下面的例子。

　　[例1.3-9] 圖1.3-7左側(cè)為一個(gè)總體，右側(cè)是從該總體隨機(jī)抽取的4個(gè)樣本，每個(gè)樣本均有5個(gè)觀測(cè)值。

　　從上面的例子可以看出：

　　(1)每一個(gè)統(tǒng)計(jì)量都有一個(gè)抽樣分布。

　　(2)不同的統(tǒng)計(jì)量可得不同的抽樣分布。

　　抽樣分布將是今后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)，一些抽樣分布可通過上述抽樣方法獲得，但是，當(dāng)樣本來自某個(gè)正態(tài)總體 時(shí)，其樣本均值 ，樣本方差 ，以及它們的某種組合的抽樣分布已在理論上被導(dǎo)出，我們將敘述其中三個(gè)，即 分布， 分布和F分布，號(hào)稱“三大抽樣分布”。在這之前，我們先回憶一下樣本均值 的分布。

　　(二)樣本均值 的抽樣分布

　　從抽樣分布角度看，中心極限定理一節(jié)告訴我們：

　　(1)當(dāng)總體分布為正態(tài)分布 時(shí)，其樣本均值 的抽樣分布(精確地)為 ， 的標(biāo)準(zhǔn)差 。

　　(2)當(dāng)總體分布不為正態(tài)分布時(shí)，只要其總體均值 與總體方差 存在，則在n較大時(shí)，其樣本均值 的抽樣分布近似于 ，， 的標(biāo)準(zhǔn)差 。

　　[例1.3-10] 樣本均值 的抽樣分布的例子。

　　(1)設(shè) 是來自正態(tài)總體N(5，1)的一個(gè)樣本，則其樣本均值 ～N(5，O.2)。 .

　　(2)設(shè) 是來自參數(shù)為 的指數(shù)分布的一個(gè)樣本，若 =0.04，則該指數(shù)分布的均值與方差分別為：

　　而該樣本均值 ，其中符號(hào)“~”表示“近似服從”。

　　(3)設(shè) 是來自二點(diǎn)分布b(1，p)的一個(gè)樣本，若p=0.02，則該二點(diǎn)分布的均值與方差分別為：

　　E(x)=p=0.02

　　Var(x)=p(1-p)=0.02×0.98=0.0196

　　而其樣本均值 =N(0.02，0.01982)。

　　(4)設(shè) 是來自泊松分布P( )的一個(gè)樣本，則其樣本均值 。

　　(5)在例1.3-9中所涉總體是僅含20個(gè)數(shù)的有限總體，該總體可用如下隨機(jī)變量x及其分布表示

　　X 8 9 10 11 12 13

　　P

　　容易算出該總體的均值與方差，它們分別為

　　E(x)=10.3 Var(x)=1.81

　　若從該總體每次(可重復(fù))取出樣本量為n的一個(gè)樣本，則樣本均值 近似服從N(10.3，1.81/n)。比如

　　n=5， ～N(10.3，0.362)

　　n=10， ～N(10.3，0.181)

　　(三)三大抽樣分布

　　(1)t分布

　　首先，我們應(yīng)把注意力放在服從t分布的t變量的構(gòu)造上。

　　設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，則有：

　　對(duì)樣本均值 施行標(biāo)準(zhǔn)化變換，則有：

　　當(dāng)用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替上式中的總體標(biāo)準(zhǔn)差 ，則上式u變量改為t變量，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)也隨之改為“自由度為n-1的t分布”，記為t(n-1)，即：

　　自由度為n-1的t分布的概率密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度函數(shù)的圖形大致類似，均為對(duì)稱分布，但它的峰比N(0，1)的峰略低一些，而兩側(cè)尾部要比N(O，1)的兩側(cè)尾部略粗一點(diǎn)，參見圖1.3-8。當(dāng)自由度超過30后，兩者區(qū)別已很小，這時(shí)可用N(0，1)代替t(n-1)。

　　(2) 分布

　　設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，則其樣本方差 的n-1倍(也即離差平方和 除以總體方差 的分布是自由度為n-1的 分布，記為 ，即：

　　自由度為n-1的 分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布，參見圖1.3-9。

　　(3)F分布

　　設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)總體 和 ，它們的方差相等。又設(shè) 是來自 的一個(gè)樣本; 是來自 的一個(gè)樣本，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。它們的樣本方差比的分布是自由度為n-1和m-l的F分布：

　　其中n-1稱為分子自由度或第1自由度;m-1稱為分母自由度或第2自由度。F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布，參見圖1.3-10。中 華 考 試 網(wǎng)