一、總體與樣本

　　(一) 總體與個體

　　在一個統(tǒng)計問題中，稱研究對象的全體為總體，構(gòu)成總體的每個成員稱為個體。若關(guān)心的是研究對象的某個數(shù)量指標，那么將每個個體具有的數(shù)量指標 稱為個體，這樣一來，總體就是某數(shù)量指標值 的全體 (即一堆數(shù))，這一堆數(shù)有一個分布，從而總體可用一個分布描述，簡單地說，總體就是一個分布。統(tǒng)計學(xué)的主要任務(wù)就是:

　　(1)研究總體是什么分布?

　　(2)這個總體 (即分布)的均值、方差 (或標準差)是多少?

　　[例1.3-1] (1) 對某產(chǎn)品僅考察其合格與否，記合格品為0，不合格品為1，那么:

　　總體={該產(chǎn)品的全體}={由0或1組成的一堆數(shù)},這一堆數(shù)的分布是什么呢? 若記1在總體中所占比例為P，則該總體可用二點分布b(1,p)(n=l的二項分布)表示:

　　X0 1

　　P

　　比如，有兩個工廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，甲廠的不合格品率 ，乙廠的不合格品率 ，甲乙兩廠所生產(chǎn)的產(chǎn)品(即兩個總體)分別用如下兩個分布描述：

　　X甲0 1

　　P

　　X乙0 1

　　P

　　如此認識總體，既能看到總體的本質(zhì)，又能看到不同總體的差別。

　　(2)考察某橡膠件的抗張強度，它可用0到∞上一個實數(shù)表示，這時總體可用區(qū)間 [0，∞)上的一個概率分布表示。國內(nèi)外橡膠業(yè)對其抗張強度有較多研究，認為橡膠件的抗張強度服從正態(tài)分布 ，該總體常稱為正態(tài)總體。這時統(tǒng)計要研究的問題是:正態(tài)均值 是多少?正態(tài)分布方差 是多少?又如若對橡膠件進行技術(shù)改進，如通過改進配料，提高了該橡膠件抗張強度的均值(見圖1.3-1)。這時我們要研究的問題是:技術(shù)改進前后的正態(tài)均值有多大改變?

　　(3)用非對稱分布 (即偏態(tài)分布)描述的總體也是常見的。比如某型號電視機壽命的全體所構(gòu)成的總體就是一個偏態(tài)分布 (見圖1.3-2)。

　　(二)樣本

　　從總體中抽取部分個體所組成的集合稱為樣本。樣本中的個體有時也稱為樣品，樣本中所包含的個體的個數(shù)稱為樣本量，常用n表示。

　　人們從總體中抽取樣本是為了認識總體，即從樣本推斷總體，如推斷總體是什么類型的分布?總體均值為多少? 總體的標準差是多少? 為了使此種統(tǒng)計推斷有所依據(jù)，推斷結(jié)果有效，對樣本的抽取應(yīng)有所要求。

　　滿足下面兩個條件的樣本稱為簡單隨機樣本，簡稱隨機樣本。

　　(1)隨機性�？傮w中每個個體都有相同的機會入樣。比如，按隨機性要求抽出5個樣品，記為 ，則其中每一個個體的分布都應(yīng)與總體分布相同。只要隨機抽樣就可保證此點實施。

　　(2)獨立性。從總體中抽取的每個個體對其他個體的抽取無任何影響。假如總體是無限的，獨立性容易實現(xiàn);若總體很大，特別地，與樣本量n相比是很大時，即使總體是有限的，此種抽樣獨立性也可得到基本保證。

　　綜上兩點，隨機樣本 可以看做n個相互獨立的、同分布的隨機變量，每一個個體的分布與總體分布相同。今后討論的樣本都是指滿足這些要求的簡單隨機樣本。在實際中抽樣時，也應(yīng)按此要求從總體中進行抽樣。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實際總體。圖1.3-3顯示兩個不同的總體，圖上用虛線畫出的曲線是兩個未知總體。若是按隨機性和獨立性要求進行抽樣，則機會大的地方 (概率密度值大)被抽出的樣品就多;而機會少的地方 (概率密度值小),被抽出的樣品就少。分布愈分散，樣本也很分散;分布愈集中，樣本也相對集中。

　　抽樣切忌受到干擾，特別是人為干擾。某些人為的傾向性會使所得樣本不是簡單隨機樣本，從而使最后的統(tǒng)計推斷失效。

　　若 是從總體X中獲得的樣本，那么 是獨立同分布的隨機變量。樣本的觀測值用 表示，這也是我們常說的數(shù)據(jù)。有時，為了方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測值都用 表示，今后將采用這一方法表示。

　　[例1.3-2] 樣本的例子及表示方法。

　　(1)某食品廠用自動裝罐機生產(chǎn)凈重為345g的午餐罐頭。由于生產(chǎn)中眾多因素的干擾，每只罐頭凈重都有差別，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機抽10個罐頭，稱其凈重，得：

　　344336345342340338344348344346

　　這就是樣本量為10的一個樣本，它是來自該生產(chǎn)線上罐頭凈重這個總體的一個樣本。

　　(2)某型號的20輛汽車記錄了各自每加侖汽油行駛的里程數(shù)(單位：km)如下：

　　29.827.628.328.727.930.129.928.028.727.9

　　28.529.527.226.928.427.928.030.029.629.1

　　這是來自該型號汽車每加侖汽油行駛里程這個總體的一個樣本，樣本量是20。

　　(3)(分組樣本)對363個零售商店調(diào)查其周零售額(單位：千元)的結(jié)果如下表1.3-1所示：

　　表1.3-1 周零售額的調(diào)查結(jié)果(單位：千元)

　　零售額(1,5](5,10](10,20](20,30]

　　商店數(shù)611351104215

　　這是一個樣本量為363的樣本，對應(yīng)的總體是該地區(qū)全部零售商店的周零售額。這個樣本與前兩個樣本不同，它僅給出樣本所在區(qū)間，沒有給出具體的零售額。這樣做雖會失去一些信息，但要準確獲得每個零售店的周零售額并非易事，能做到的是把區(qū)間再縮小一些。這種樣本稱為分組樣本。在樣本量n很大時，比如幾百甚至上千個，羅列所有數(shù)據(jù)非常不便，且使人眼花繚亂，不得要領(lǐng)，這時可把樣本作初步整理轉(zhuǎn)化為分組樣本并加以表達，這樣可立即給人一個大致的印象。以后在作頻率直方圖時，也要用到這個方法。